ГДЗ 10-11 Класс Номер 11.4 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найти значение функции $y = 2 \cos \left( x — \frac{\pi}{4} \right) — 1$, если:

а) $x = -\frac{\pi}{2}$;

$y(x) = 2 \cos \left( -\frac{\pi}{2} — \frac{\pi}{4} \right) — 1 = 2 \cos \left( -\frac{3\pi}{4} \right) — 1;$

$y(x) = 2 \cos \frac{3\pi}{4} — 1 = 2 \cdot \left( -\frac{\sqrt{2}}{2} \right) — 1 = -\sqrt{2} — 1;$

Ответ: $-\sqrt{2} — 1$.

б) $x = \frac{\pi}{4}$;

$y(x) = 2 \cos \left( \frac{\pi}{4} — \frac{\pi}{4} \right) — 1 = 2 \cos 0 — 1;$

$y(x) = 2 \cdot 1 — 1 = 2 — 1 = 1;$

Ответ: 1.

Дано

$$y=2\cos\!\left(x-\frac{\pi}{4}\right)-1.$$

Полезные факты

Чётность косинуса:

$$\cos(-\alpha)=\cos\alpha.$$

Геометрически это следует из симметрии единичной окружности относительно оси $Ox$; аналитически — из формулы $\cos(-\alpha)=\Re(e^{-i\alpha})=\Re(e^{i\alpha})=\cos\alpha$.

Значения углов $\frac{\pi}{4}$ и кратных ему:

$$\cos\frac{\pi}{4}=\sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}.$$

Знак косинуса по четвертям: во II четверти ($\frac{\pi}{2}<\alpha<\pi$) косинус отрицателен.

а) При $x=-\dfrac{\pi}{2}$

Шаг 1. Подставим $x$ в выражение

$$y=2\cos\!\left(-\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{4}\right)-1.$$

Шаг 2. Сложим углы внутри косинуса

$$-\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{4}= -\left(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{4}\right) = -\left(\frac{2\pi}{4}+\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{3\pi}{4}.$$

Значит,

$$y=2\cos\!\left(-\frac{3\pi}{4}\right)-1.$$

Шаг 3. Используем чётность косинуса

$$\cos\!\left(-\frac{3\pi}{4}\right)=\cos\!\left(\frac{3\pi}{4}\right).$$

Поэтому

$$y=2\cos\!\left(\frac{3\pi}{4}\right)-1.$$

Шаг 4. Найдём $\cos\!\left(\frac{3\pi}{4}\right)$

Угол $\frac{3\pi}{4}=135^\circ$ лежит во II четверти, а его острый (опорный) угол равен $\frac{\pi}{4}$. Во II четверти косинус отрицателен, поэтому

$$\cos\!\left(\frac{3\pi}{4}\right)=-\cos\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}.$$

Шаг 5. Подставим и упростим

$$y=2\cdot\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)-1=-\sqrt{2}-1.$$

Быстрая проверка альтернативным способом (формула косинуса разности)

Запишем $\cos\!\big((-\frac{\pi}{2})-\frac{\pi}{4}\big)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta$, где
$\alpha=-\frac{\pi}{2}$, $\beta=\frac{\pi}{4}$.
Тогда

$$\cos\!\left(-\frac{\pi}{2}\right)=0,\quad \sin\!\left(-\frac{\pi}{2}\right)=-1,\quad \cos\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\sin\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}.$$

Отсюда

$$\cos\!\left(-\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{4}\right) =0\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}+(-1)\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} =-\frac{\sqrt{2}}{2},$$

и снова

$$y=2\cdot\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)-1=-\sqrt{2}-1.$$

Ответ к а): $\boxed{-\sqrt{2}-1}$.

б) При $x=\dfrac{\pi}{4}$

Шаг 1. Подставим $x$ в выражение

$$y=2\cos\!\left(\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{4}\right)-1.$$

Шаг 2. Упростим угол

$$\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{4}=0 \;\;\Rightarrow\;\; y=2\cos 0-1.$$

Шаг 3. Используем значение $\cos 0$

$$\cos 0=1 \;\;\Rightarrow\;\; y=2\cdot 1-1=1.$$

Проверка формулой косинуса разности

$$\cos \text{\hspace{0.17em}⁣}(\frac{\pi }{4}-\frac{\pi }{4})=\cos \frac{\pi }{4}\cos \frac{\pi }{4}+\sin \frac{\pi }{4}\sin \frac{\pi }{4}={\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2+{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2=$$

$$\cos\!\left(\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{4}\right) =\cos\frac{\pi}{4}\cos\frac{\pi}{4} +\sin\frac{\pi}{4}\sin\frac{\pi}{4} =\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 +\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 =\frac12+\frac12=1,$$

что даёт то же $y=1$.

Ответ к б): $\boxed{1}$.