ГДЗ 10-11 Класс Номер 12.10 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Докажите, что данное число Т является периодом заданной функции:

а) $y = \sin 2x$, $T = \pi$;

б) $y = \cos 3x$, $T = \frac{2\pi}{3}$;

в) $y = \sin \frac{x}{2}$, $T = 4\pi$;

г) $y = \cos \frac{3x}{4}$, $T = \frac{8\pi}{3}$

Доказать, что данное число $T$ является периодом функции:

а) $y = \sin 2x$, $T = \pi$;

$$y(x — \pi) = \sin 2(x — \pi) = \sin(2x — 2\pi) = \sin 2x;$$ $$y(x + \pi) = \sin 2(x + \pi) = \sin(2x + 2\pi) = \sin 2x;$$

Что и требовалось доказать.

б) $y = \cos 3x$, $T = \frac{2\pi}{3}$;

$$y\left(x — \frac{2\pi}{3}\right) = \cos 3\left(x — \frac{2\pi}{3}\right) = \cos\left(3x — 2\pi\right) = \cos 3x;$$ $$y\left(x + \frac{2\pi}{3}\right) = \cos 3\left(x + \frac{2\pi}{3}\right) = \cos\left(3x + 2\pi\right) = \cos 3x;$$

Что и требовалось доказать.

в) $y = \sin \frac{x}{2}$, $T = 4\pi$;

$$y(x — 4\pi) = \sin \frac{x — 4\pi}{2} = \sin \left(\frac{x}{2} — 2\pi\right) = \sin \frac{x}{2};$$ $$y(x + 4\pi) = \sin \frac{x + 4\pi}{2} = \sin \left(\frac{x}{2} + 2\pi\right) = \sin \frac{x}{2};$$

Что и требовалось доказать.

г) $y = \cos \frac{3x}{4}$, $T = \frac{8\pi}{3}$;

$$y\left(x — \frac{8\pi}{3}\right) = \cos \frac{3}{4}\left(x — \frac{8\pi}{3}\right) = \cos\left(\frac{3x}{4} — 2\pi\right) = \cos \frac{3x}{4};$$ $$y\left(x + \frac{8\pi}{3}\right) = \cos \frac{3}{4}\left(x + \frac{8\pi}{3}\right) = \cos\left(\frac{3x}{4} + 2\pi\right) = \cos \frac{3x}{4};$$

Что и требовалось доказать.

Доказательство, что данное число $T$ является периодом функции.

Для каждой из функций нужно показать, что при сдвиге на $T$ значение функции не изменяется. То есть, нужно доказать, что для каждого значения $x$ выполняется равенство:

$$y(x + T) = y(x)$$

или

$$y(x — T) = y(x)$$

где $T$ — предполагаемый период функции. Рассмотрим каждое из уравнений отдельно.

а) $y = \sin(2x)$, $T = \pi$

Шаг 1: Используем определение периода.

Нужно доказать, что $T = \pi$ является периодом функции $y = \sin(2x)$. Для этого подставим $x + \pi$ и $x — \pi$ в функцию и проверим, получим ли то же самое выражение.

Сдвиг на $-\pi$:

$$y(x — \pi) = \sin(2(x — \pi)) = \sin(2x — 2\pi)$$

Используем периодичность синуса: $\sin(\theta — 2\pi) = \sin \theta$, следовательно:

$$y(x — \pi) = \sin(2x)$$

Сдвиг на $+\pi$:

$$y(x + \pi) = \sin(2(x + \pi)) = \sin(2x + 2\pi)$$

Используем периодичность синуса: $\sin(\theta + 2\pi) = \sin \theta$, следовательно:

$$y(x + \pi) = \sin(2x)$$

Шаг 2: Заключение.

Мы видим, что при сдвиге функции на $\pm \pi$ получаем исходную функцию. Следовательно, $T = \pi$ является периодом функции $y = \sin(2x)$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

б) $y = \cos(3x)$, $T = \frac{2\pi}{3}$

Шаг 1: Используем определение периода.

Нужно доказать, что $T = \frac{2\pi}{3}$ является периодом функции $y = \cos(3x)$. Для этого подставим $x + \frac{2\pi}{3}$ и $x — \frac{2\pi}{3}$ в функцию и проверим, получим ли то же самое выражение.

Сдвиг на $-\frac{2\pi}{3}$:

$$y\left(x — \frac{2\pi}{3}\right) = \cos\left(3\left(x — \frac{2\pi}{3}\right)\right) = \cos\left(3x — 2\pi\right)$$

Используем периодичность косинуса: $\cos(\theta — 2\pi) = \cos \theta$, следовательно:

$$y\left(x — \frac{2\pi}{3}\right) = \cos(3x)$$

Сдвиг на $+\frac{2\pi}{3}$:

$$y\left(x + \frac{2\pi}{3}\right) = \cos\left(3\left(x + \frac{2\pi}{3}\right)\right) = \cos\left(3x + 2\pi\right)$$

Используем периодичность косинуса: $\cos(\theta + 2\pi) = \cos \theta$, следовательно:

$$y\left(x + \frac{2\pi}{3}\right) = \cos(3x)$$

Шаг 2: Заключение.

Мы видим, что при сдвиге функции на $\pm \frac{2\pi}{3}$ получаем исходную функцию. Следовательно, $T = \frac{2\pi}{3}$ является периодом функции $y = \cos(3x)$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

в) $y = \sin\left(\frac{x}{2}\right)$, $T = 4\pi$

Шаг 1: Используем определение периода.

Нужно доказать, что $T = 4\pi$ является периодом функции $y = \sin\left(\frac{x}{2}\right)$. Для этого подставим $x + 4\pi$ и $x — 4\pi$ в функцию и проверим, получим ли то же самое выражение.

Сдвиг на $-4\pi$:

$$y(x — 4\pi) = \sin\left(\frac{x — 4\pi}{2}\right) = \sin\left(\frac{x}{2} — 2\pi\right)$$

Используем периодичность синуса: $\sin(\theta — 2\pi) = \sin \theta$, следовательно:

$$y(x — 4\pi) = \sin\left(\frac{x}{2}\right)$$

Сдвиг на $+4\pi$:

$$y(x + 4\pi) = \sin\left(\frac{x + 4\pi}{2}\right) = \sin\left(\frac{x}{2} + 2\pi\right)$$

Используем периодичность синуса: $\sin(\theta + 2\pi) = \sin \theta$, следовательно:

$$y(x + 4\pi) = \sin\left(\frac{x}{2}\right)$$

Шаг 2: Заключение.

Мы видим, что при сдвиге функции на $\pm 4\pi$ получаем исходную функцию. Следовательно, $T = 4\pi$ является периодом функции $y = \sin\left(\frac{x}{2}\right)$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

г) $y = \cos\left(\frac{3x}{4}\right)$, $T = \frac{8\pi}{3}$

Шаг 1: Используем определение периода.

Нужно доказать, что $T = \frac{8\pi}{3}$ является периодом функции $y = \cos\left(\frac{3x}{4}\right)$. Для этого подставим $x + \frac{8\pi}{3}$ и $x — \frac{8\pi}{3}$ в функцию и проверим, получим ли то же самое выражение.

Сдвиг на $-\frac{8\pi}{3}$:

$$y\left(x — \frac{8\pi}{3}\right) = \cos\left(\frac{3}{4}\left(x — \frac{8\pi}{3}\right)\right) = \cos\left(\frac{3x}{4} — 2\pi\right)$$

Используем периодичность косинуса: $\cos(\theta — 2\pi) = \cos \theta$, следовательно:

$$y\left(x — \frac{8\pi}{3}\right) = \cos\left(\frac{3x}{4}\right)$$

Сдвиг на $+\frac{8\pi}{3}$:

$$y\left(x + \frac{8\pi}{3}\right) = \cos\left(\frac{3}{4}\left(x + \frac{8\pi}{3}\right)\right) = \cos\left(\frac{3x}{4} + 2\pi\right)$$

Используем периодичность косинуса: $\cos(\theta + 2\pi) = \cos \theta$, следовательно:

$$y\left(x + \frac{8\pi}{3}\right) = \cos\left(\frac{3x}{4}\right)$$

Шаг 2: Заключение.

Мы видим, что при сдвиге функции на $\pm \frac{8\pi}{3}$ получаем исходную функцию. Следовательно, $T = \frac{8\pi}{3}$ является периодом функции $y = \cos\left(\frac{3x}{4}\right)$.

Ответ: Что и требовалось доказать.