ГДЗ 10-11 Класс Номер 12.11 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Вычислить значение:

а) $\cos(t + 4\pi)$, если $\cos(2\pi — t) = -\frac{3}{5}$;

$$\cos(t + 4\pi) = \cos t = \cos(-t) = \cos(2\pi — t) = -\frac{3}{5};$$

Ответ: $-\frac{3}{5}$.

б) $\sin(32\pi — t)$, если $\sin(2\pi — t) = \frac{5}{13}$;

$$\sin(32\pi — t) = \sin(-t) = \sin(2\pi — t) = \frac{5}{13};$$

Ответ: $\frac{5}{13}$.

а) $\cos(t + 4\pi)$, если $\cos(2\pi — t) = -\frac{3}{5}$

Шаг 1. Используем периодичность функции $\cos$

Функция $\cos(x)$ имеет период $2\pi$, что означает, что $\cos(x + 2\pi) = \cos(x)$ для любого значения $x$. Мы можем использовать эту свойство, чтобы упростить выражение $\cos(t + 4\pi)$.

$$\cos(t + 4\pi) = \cos(t + 2\pi + 2\pi)$$

Так как $\cos(x)$ периодична с периодом $2\pi$, можем записать:

$$\cos(t + 4\pi) = \cos(t)$$

Шаг 2. Подставляем выражение для $\cos(t)$

Из условия задачи нам известно, что $\cos(2\pi — t) = -\frac{3}{5}$. Мы воспользуемся тем, что $\cos(2\pi — t) = \cos(t)$, поскольку $\cos(x)$ — чётная функция и выполняется равенство $\cos(2\pi — t) = \cos(t)$.

Таким образом:

$$\cos(t) = \cos(2\pi — t) = -\frac{3}{5}$$

Шаг 3. Подставляем полученное значение

Теперь мы можем подставить это значение в исходное выражение:

$$\cos(t + 4\pi) = \cos(t) = -\frac{3}{5}$$

Ответ: $-\frac{3}{5}$.

б) $\sin(32\pi — t)$, если $\sin(2\pi — t) = \frac{5}{13}$

Шаг 1. Используем периодичность функции $\sin$

Функция $\sin(x)$ также имеет период $2\pi$, то есть $\sin(x + 2\pi) = \sin(x)$ для любого значения $x$. Используем это свойство, чтобы упростить выражение $\sin(32\pi — t)$.

$$\sin(32\pi — t) = \sin(2\pi \cdot 16 — t) = \sin(-t)$$

Здесь мы разложили $32\pi$ как $2\pi \cdot 16$, что даёт нам равенство по периоду.

Шаг 2. Используем чётность функции $\sin$

С помощью свойства чётности функции $\sin(x)$, которое говорит, что $\sin(-x) = -\sin(x)$, мы получаем:

$$\sin(-t) = -\sin(t)$$

Таким образом:

$$\sin(32\pi — t) = -\sin(t)$$

Шаг 3. Подставляем значение $\sin(t)$

Из условия задачи нам дано, что $\sin(2\pi — t) = \frac{5}{13}$. Мы знаем, что $\sin(2\pi — t) = -\sin(t)$, так как $\sin(x)$ — нечётная функция.

Тогда:

$$-\sin(t) = \sin(2\pi — t) = \frac{5}{13}$$

Таким образом:

$$\sin(t) = -\frac{5}{13}$$

Шаг 4. Подставляем найденное значение в выражение

Теперь, подставляя $\sin(t)$ в исходное выражение, получаем:

$$\sin(32\pi — t) = -\left(-\frac{5}{13}\right) = \frac{5}{13}$$

Ответ: $\frac{5}{13}$.

Таким образом, ответы на задачи:

а) $\cos(t + 4\pi) = -\frac{3}{5}$

б) $\sin(32\pi — t) = \frac{5}{13}$