ГДЗ 10-11 Класс Номер 12.9 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) $\sin(x + 2\pi) + \sin(x — 4\pi) = 1$;

б) $3 \cos(2\pi + x) + \cos(x — 2\pi) + 2 = 0$;

в) $\sin(x + 4\pi) + \sin(x — 6\pi) = \sqrt{3}$;

г) $\cos(x + 2\pi) + \cos(x — 8\pi) = \sqrt{2}$

Решить уравнение:

а) $\sin(x + 2\pi) + \sin(x — 4\pi) = 1$;
$\sin x + \sin x = 1$;
$2 \sin x = 1$;
$\sin x = \frac{1}{2}$;
Ответ: $x_1 = \frac{\pi}{6} + 2\pi n$; $x_2 = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$.

б) $3 \cos(2\pi + x) + \cos(x — 2\pi) + 2 = 0$;
$3 \cos x + \cos x + 2 = 0$;
$4 \cos x = -2$;
$\cos x = -\frac{1}{2}$;
Ответ: $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$.

в) $\sin(x + 4\pi) + \sin(x — 6\pi) = \sqrt{3}$;
$\sin x + \sin x = \sqrt{3}$;
$2 \sin x = \sqrt{3}$;
$\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$;
Ответ: $x_1 = \frac{\pi}{3} + 2\pi n$; $x_2 = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$.

г) $\cos(x + 2\pi) + \cos(x — 8\pi) = \sqrt{2}$;
$\cos x + \cos x = \sqrt{2}$;
$2 \cos x = \sqrt{2}$;
$\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$;
Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n$.

а) $\sin(x + 2\pi) + \sin(x — 4\pi) = 1$

Используем периодичность синуса:
$\sin(x + 2\pi) = \sin x$ и $\sin(x — 4\pi) = \sin x$, так как синус — периодическая функция с периодом $2\pi$.

Преобразуем уравнение:
Подставляем эти выражения в исходное уравнение:

$$\sin x + \sin x = 1$$

Получаем:

$$2 \sin x = 1$$

Решаем относительно $\sin x$:
Разделим обе стороны уравнения на 2:

$$\sin x = \frac{1}{2}$$

Находим решения уравнения $\sin x = \frac{1}{2}$:
Знаем, что $\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$, поэтому основные решения уравнения:

$$x_1 = \frac{\pi}{6} + 2\pi n, \quad x_2 = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$$

(где $n \in \mathbb{Z}$ — любое целое число, так как синус имеет период $2\pi$).

Ответ:

$$x_1 = \frac{\pi}{6} + 2\pi n, \quad x_2 = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$$

б) $3 \cos(2\pi + x) + \cos(x — 2\pi) + 2 = 0$

Используем периодичность косинуса:
$\cos(2\pi + x) = \cos x$ и $\cos(x — 2\pi) = \cos x$, так как косинус — периодическая функция с периодом $2\pi$.

Преобразуем уравнение:
Подставляем эти выражения в исходное уравнение:

$$3 \cos x + \cos x + 2 = 0$$

Получаем:

$$4 \cos x + 2 = 0$$

Решаем относительно $\cos x$:
Вычитаем 2 из обеих сторон:

$$4 \cos x = -2$$

Теперь делим обе стороны на 4:

$$\cos x = -\frac{1}{2}$$

Находим решения уравнения $\cos x = -\frac{1}{2}$:
Известно, что $\cos \frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2}$ и $\cos \frac{4\pi}{3} = -\frac{1}{2}$, так как косинус симметричен относительно оси $x$. Основные решения:

$$x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$$

(где $n \in \mathbb{Z}$).

Ответ:

$$x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$$

в) $\sin(x + 4\pi) + \sin(x — 6\pi) = \sqrt{3}$

Используем периодичность синуса:
$\sin(x + 4\pi) = \sin x$ и $\sin(x — 6\pi) = \sin x$, так как синус — периодическая функция с периодом $2\pi$, и $4\pi$ и $6\pi$ кратны $2\pi$.

Преобразуем уравнение:
Подставляем эти выражения в исходное уравнение:

$$\sin x + \sin x = \sqrt{3}$$

Получаем:

$$2 \sin x = \sqrt{3}$$

Решаем относительно $\sin x$:
Разделим обе стороны уравнения на 2:

$$\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Находим решения уравнения $\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$:
Известно, что $\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin \frac{2\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, так как синус симметричен относительно оси $y$. Основные решения:

$$x_1 = \frac{\pi}{3} + 2\pi n, \quad x_2 = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$$

(где $n \in \mathbb{Z}$).

Ответ:

$$x_1 = \frac{\pi}{3} + 2\pi n, \quad x_2 = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$$

г) $\cos(x + 2\pi) + \cos(x — 8\pi) = \sqrt{2}$

Используем периодичность косинуса:
$\cos(x + 2\pi) = \cos x$ и $\cos(x — 8\pi) = \cos x$, так как косинус — периодическая функция с периодом $2\pi$.

Преобразуем уравнение:
Подставляем эти выражения в исходное уравнение:

$$\cos x + \cos x = \sqrt{2}$$

Получаем:

$$2 \cos x = \sqrt{2}$$

Решаем относительно $\cos x$:
Разделим обе стороны уравнения на 2:

$$\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Находим решения уравнения $\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$:
Известно, что $\cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\cos \frac{7\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, так как косинус симметричен относительно оси $x$. Основные решения:

$$x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n$$

(где $n \in \mathbb{Z}$).

Ответ:

$$x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n$$

Итоговые ответы:

а) $x_1 = \frac{\pi}{6} + 2\pi n$; $x_2 = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$

б) $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$

в) $x_1 = \frac{\pi}{3} + 2\pi n$; $x_2 = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$

г) $x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n$