ГДЗ 10-11 Класс Номер 13.15 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Известно, что $f(x) = \cos \frac{x}{3}$, найти:

а) $f(-x) = \cos \left( -\frac{x}{3} \right) = \cos \frac{x}{3}$;

б) $3f(x) = 3 \cos \frac{x}{3}$;

в) $f(-3x) = \cos \left( -\frac{3x}{3} \right) = \cos (-x) = \cos x$;

г) $f(-x) — f(x) = \cos \left( -\frac{x}{3} \right) — \cos \frac{x}{3} = \cos \frac{x}{3} — \cos \frac{x}{3} = 0$.

а) $f(-x) = \cos \left( -\frac{x}{3} \right) = \cos \frac{x}{3}$

1. Подставляем $-x$ в функцию $f(x) = \cos \frac{x}{3}$:

• Мы начинаем с функции $f(x) = \cos \frac{x}{3}$ и подставляем вместо $x$ значение $-x$.

  $$f(-x) = \cos \left( -\frac{x}{3} \right)$$

2. Используем свойство косинуса (косинус — четная функция):

• Мы знаем, что косинус — это четная функция, то есть:

  $$\cos(-\theta) = \cos(\theta)$$

• Следовательно:

  $$\cos \left( -\frac{x}{3} \right) = \cos \frac{x}{3}$$

3. Ответ:

• Таким образом, получаем:

  $$f(-x) = \cos \frac{x}{3}$$

  То есть функция $f(x)$ остается неизменной при замене $x$ на $-x$, что подтверждает, что косинус является четной функцией.

б) $3f(x) = 3 \cos \frac{x}{3}$

1. Умножение функции на 3:

• В данном случае нам нужно умножить функцию $f(x) = \cos \frac{x}{3}$ на 3.

  $$3f(x) = 3 \cdot \cos \frac{x}{3}$$

2. Результат:

• Получаем:

  $$3f(x) = 3 \cos \frac{x}{3}$$

  Это просто умножение косинуса на 3, что увеличивает амплитуду функции в 3 раза, но не изменяет период или фазу функции.

3. Ответ:

• Результат выражения:

  $$3f(x) = 3 \cos \frac{x}{3}$$

в) $f(-3x) = \cos \left( -\frac{3x}{3} \right) = \cos (-x) = \cos x$

1. Подставляем $-3x$ в функцию $f(x) = \cos \frac{x}{3}$:

• Подставим вместо $x$ значение $-3x$:

  $$f(-3x) = \cos \left( \frac{-3x}{3} \right) = \cos(-x)$$

2. Используем свойство косинуса (косинус — четная функция):

• Как уже упоминалось, косинус — четная функция, то есть:

  $$\cos(-x) = \cos(x)$$

• Следовательно:

  $$f(-3x) = \cos x$$

3. Ответ:

• Таким образом, выражение $f(-3x)$ сводится к $\cos x$.

г) $f(-x) — f(x) = \cos \left( -\frac{x}{3} \right) — \cos \frac{x}{3} = \cos \frac{x}{3} — \cos \frac{x}{3} = 0$

1. Подставляем $-x$ в $f(x)$:

• Мы уже знаем, что $f(-x) = \cos \frac{x}{3}$, так как косинус — четная функция.

  $$f(-x) = \cos \left( -\frac{x}{3} \right) = \cos \frac{x}{3}$$

2. Вычитаем $f(x)$ из $f(-x)$:

• Теперь вычислим $f(-x) — f(x)$:

  $$f(-x) — f(x) = \cos \frac{x}{3} — \cos \frac{x}{3}$$

3. Результат:

• Поскольку $\cos \frac{x}{3} — \cos \frac{x}{3} = 0$, то:

  $$f(-x) — f(x) = 0$$

4. Ответ:

• Результат:

  $$f(-x) — f(x) = 0$$

Итог:

1. $f(-x) = \cos \frac{x}{3}$
2. $3f(x) = 3 \cos \frac{x}{3}$
3. $f(-3x) = \cos x$
4. $f(-x) — f(x) = 0$