ГДЗ 10-11 Класс Номер 13.16 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Известно, что $f(x) = \sin 2x$, найти:

а) $f(-x) = \sin(-2x) = -\sin 2x$;

б) $2f(x) = 2 \sin 2x$;

в) $f(-3x) = \sin(2 \cdot (-3x)) = \sin(-6x) = -\sin 6x$;

г) $f(-x) + f(x) = \sin(-2x) + \sin 2x = -\sin 2x + \sin 2x = 0$

Известно, что $f(x) = \sin 2x$, найти:

Рассмотрим каждый пункт задачи, подробно разобрав все преобразования и объяснив каждый шаг.

а) $f(-x) = \sin(-2x) = -\sin 2x$

1. Подставляем $-x$ в функцию $f(x)$:

• Дано, что $f(x) = \sin 2x$, и мы должны найти $f(-x)$.
• Подставляем $-x$ вместо $x$ в функцию $f(x)$:

  $$f(-x) = \sin(2 \cdot (-x)) = \sin(-2x)$$

2. Используем свойство синуса:

• Синус является нечетной функцией, то есть для любого значения $y$ выполняется:

  $$\sin(-y) = -\sin(y)$$

  Это означает, что:

  $$\sin(-2x) = -\sin(2x)$$

3. Результат:

• Следовательно:

  $$f(-x) = -\sin 2x$$

  То есть при замене $x$ на $-x$ в функции синуса аргумент изменяется на $-2x$, что приводит к отрицанию функции $\sin 2x$.

б) $2f(x) = 2 \sin 2x$

1. Умножение функции на 2:

• Нам нужно вычислить $2f(x)$, где $f(x) = \sin 2x$.
• Просто умножаем $\sin 2x$ на 2:

  $$2f(x) = 2 \cdot \sin 2x$$

2. Результат:

• Получаем:

  $$2f(x) = 2 \sin 2x$$

  Это означает, что амплитуда функции $y = \sin 2x$ увеличивается в 2 раза, но период и форма графика остаются прежними.

в) $f(-3x) = \sin(2 \cdot (-3x)) = \sin(-6x) = -\sin 6x$

1. Подставляем $-3x$ вместо $x$ в функцию $f(x)$:

• Дано, что $f(x) = \sin 2x$, и мы должны найти $f(-3x)$.
• Подставляем $-3x$ вместо $x$:

  $$f(-3x) = \sin\left( 2 \cdot (-3x) \right) = \sin(-6x)$$

2. Используем свойство синуса:

• Синус является нечетной функцией, и для любого аргумента $y$ выполняется:

  $$\sin(-y) = -\sin(y)$$

  Таким образом:

  $$\sin(-6x) = -\sin(6x)$$

3. Результат:

• Следовательно:

  $$f(-3x) = -\sin 6x$$

  То есть при замене $x$ на $-3x$ в функции синуса происходит сжатие графика по оси $x$ на коэффициент 3, а также отрицание функции.

г) $f(-x) + f(x) = \sin(-2x) + \sin 2x = -\sin 2x + \sin 2x = 0$

1. Подставляем $-x$ в $f(x)$:

• Мы уже знаем, что $f(x) = \sin 2x$, и для нахождения $f(-x)$ подставляем $-x$ вместо $x$:

  $$f(-x) = \sin(-2x) = -\sin 2x$$

2. Вычитаем $f(x)$ из $f(-x)$:

• Теперь вычислим $f(-x) + f(x)$:

  $$f(-x) + f(x) = -\sin 2x + \sin 2x$$

  Является очевидным, что $-\sin 2x + \sin 2x = 0$.

3. Результат:

• Следовательно:

  $$f(-x) + f(x) = 0$$

  Это подтверждает, что сумма функции и её зеркального отображения относительно оси $x$ равна 0, так как синус — нечетная функция.

Итог:

1. $f(-x) = -\sin 2x$
2. $2f(x) = 2 \sin 2x$
3. $f(-3x) = -\sin 6x$
4. $f(-x) + f(x) = 0$