ГДЗ 10-11 Класс Номер 13.24 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Составьте возможное аналитическое задание функции (предполагается, что D(f) = R) по её графику, изображённому:

а) на рис. 15;

б) на рис. 16;

в) на рис. 17;

г) на рис. 18.

Составить аналитическую запись функции по ее графику.

а) Рисунок 15;

На луче $(-∞; 0)$ изображена прямая:
$y = kx + b$

График проходит через точку $(0; 0)$, значит:
$0 = k \cdot 0 + b \quad => \quad b = 0$
$y = kx$

График проходит через точку $(-1; 1)$, значит:
$1 = k \cdot (-1) \quad => \quad k = -1$
$y = -x$

На луче $[0; +∞)$ изображена дуга синусоиды:
$y = a \sin(kx + b) + c$

Центр симметрии лежит в точке $(0; 0)$, значит:
$b = 0, \quad c = 0$
$y = a \sin kx$

Вершина лежит в точке $\left( \frac{π}{4}; 1 \right)$, значит:
$a = 1, \quad k = \frac{π}{2} : \frac{π}{4} = \frac{4}{2} = 2$
$y = \sin 2x$

Ответ:

$$\begin{cases} -x, & \text{если } x \leq 0 \\ \sin 2x, & \text{если } x > 0 \end{cases}$$

б) Рисунок 16;

На луче $\left(-∞; \frac{π}{3}\right]$ изображена дуга синусоиды:
$y = a \cos(kx + b) + c$

Вершина лежит в точке $(0; 1)$, значит:
$b = 0, \quad c = 0, \quad a = 1$
$y = \cos kx$

График пересекает ось $Ox$ в точке $\left( \frac{π}{6}; 0 \right)$, значит:
$k = \frac{π}{2} : \frac{π}{6} = \frac{6}{2} = 3$
$y = \cos 3x$

На луче $\left[\frac{π}{3}; +∞\right)$ изображена прямая:
$y = -1$

Ответ:

$$\begin{cases} \cos 3x, & \text{если } x \leq \frac{π}{3} \\ -1, & \text{если } x > \frac{π}{3} \end{cases}$$

в) Рисунок 17;

На луче $(-∞; 0]$ изображена дуга синусоиды:
$y = a \sin(kx + b) + c$

Центр симметрии лежит в точке $(0; 0)$, значит:
$b = 0, \quad c = 0$
$y = a \sin kx$

Вершина лежит в точке $\left(-\frac{π}{4}; -1\right)$, значит:
$a = 1, \quad k = \frac{π}{2} : \frac{π}{4} = \frac{4}{2} = 2$
$y = \sin 2x$

На луче $(0; +∞)$ изображена дуга синусоиды:
$y = a \cos(kx + b) + c$

Вершина лежит в точке $(0; 2)$, значит:
$b = 0, \quad c = 0, \quad a = 2$
$y = 2 \cos kx$

График пересекает ось $Ox$ в точке $\left( \frac{π}{2}; 0 \right)$, значит:
$k = \frac{π}{2} : \frac{π}{2} = 1$
$y = 2 \cos x$

Ответ:

$$\begin{cases} \sin 2x, & \text{если } x \leq 0 \\ 2 \cos x, & \text{если } x > 0 \end{cases}$$

г) Рисунок 18;

На луче $(-∞; 0]$ изображена дуга синусоиды:
$y = a \sin(kx + b) + c$

Центр симметрии лежит в точке $(0; 0)$, значит:
$b = 0, \quad c = 0$
$y = a \sin kx$

Вершина лежит в точке $\left(-\frac{π}{2}; 2\right)$, значит:
$a = -2, \quad k = \frac{π}{2} : \frac{π}{2} = 1$
$y = -2 \sin x$

На луче $(0; +∞)$ изображена дуга синусоиды:
$y = a \cos(kx + b) + c$

Вершина лежит в точке $(0; 1)$, значит:
$b = 0, \quad c = 0, \quad a = 1$
$y = \cos kx$

График пересекает ось $Ox$ в точке $(π; 0)$, значит:
$k = \frac{π}{2} : π = \frac{1}{2}$
$y = \cos \frac{x}{2}$

Ответ:

$$\begin{cases} -2 \sin x, & \text{если } x \leq 0 \\ \cos \frac{x}{2}, & \text{если } x > 0 \end{cases}$$

а) Рисунок 15:

На луче $(-∞; 0)$ изображена прямая:

Уравнение прямой имеет вид:
$y = kx + b,$
где $k$ — угловой коэффициент, а $b$ — сдвиг по оси $y$.

• Нахождение $b$: График прямой проходит через точку $(0; 0)$. Это означает, что когда $x = 0$, $y = 0$. Подставим эти значения в уравнение прямой:
  $0 = k \cdot 0 + b \quad \Rightarrow \quad b = 0.$

Таким образом, уравнение прямой принимает вид:
$y = kx.$

• Нахождение $k$: График прямой проходит через точку $(-1; 1)$. Подставим точку $(-1; 1)$ в уравнение:
  $1 = k \cdot (-1) \quad \Rightarrow \quad k = -1.$

Таким образом, уравнение прямой на отрезке $(-∞; 0)$ будет:
$y = -x.$

На луче $[0; +∞)$ изображена дуга синусоиды:

Уравнение синусоиды имеет вид:
$y = a \sin(kx + b) + c,$
где $a$, $b$ и $c$ — это параметры, определяющие амплитуду, горизонтальный сдвиг и вертикальный сдвиг соответственно.

• Центр симметрии синусоиды: Согласно условию задачи, центр симметрии синусоиды находится в точке $(0; 0)$. Это означает, что $b = 0$ и $c = 0$, так как синусоида не имеет сдвига по осям. Следовательно, уравнение синусоиды примет вид:
  $y = a \sin(kx).$
• Нахождение $a$ и $k$: Вершина синусоиды на графике расположена в точке $\left(\frac{\pi}{4}; 1\right)$. Это означает, что максимальное значение синусоиды на графике равно $1$, и оно достигается при $x = \frac{\pi}{4}$. Подставим точку $\left(\frac{\pi}{4}; 1\right)$ в уравнение:
  $1 = a \sin(k \cdot \frac{\pi}{4}).$
  Так как на графике вершина синусоиды достигает максимума (равного 1) в точке $x = \frac{\pi}{4}$, синусоиды синуса принимают максимальное значение $a$, когда аргумент синуса равен $\frac{\pi}{2}$, что даёт:
  $\sin(k \cdot \frac{\pi}{4}) = 1 \quad \Rightarrow \quad k \cdot \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} \quad \Rightarrow \quad k = 2.$

  Таким образом, у нас есть:
  $y = \sin 2x.$

Ответ для части а):

$$y = \begin{cases} -x, & \text{если } x \leq 0 \\ \sin 2x, & \text{если } x > 0 \end{cases}$$

б) Рисунок 16:

На луче $\left(-∞; \frac{\pi}{3}\right]$ изображена дуга синусоиды:

Уравнение синусоиды имеет вид:
$y = a \cos(kx + b) + c.$

• Центр симметрии синусоиды: Вершина синусоиды на графике расположена в точке $(0; 1)$. Это означает, что $b = 0$ и $c = 0$, так как синусоида не имеет горизонтального или вертикального сдвига:
  $y = a \cos(kx).$
• Нахождение $a$ и $k$: График пересекает ось $Ox$ в точке $\left(\frac{\pi}{6}; 0\right)$. Для того чтобы график косинусоиды пересекал ось $Ox$ в точке $\frac{\pi}{6}$, мы можем записать уравнение:
  $0 = a \cos(k \cdot \frac{\pi}{6}).$
  Так как косинус равен нулю при $\frac{\pi}{2}$, то:
  $k \cdot \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} \quad \Rightarrow \quad k = 3.$

  Таким образом, уравнение синусоиды на отрезке $\left(-∞; \frac{\pi}{3}\right]$ будет:
  $y = \cos 3x.$

На луче $\left[\frac{\pi}{3}; +∞\right)$ изображена прямая:

Прямая на графике имеет постоянное значение, равное $-1$:
$y = -1.$

Ответ для части б):

$$y = \begin{cases} \cos 3x, & \text{если } x \leq \frac{\pi}{3} \\ -1, & \text{если } x > \frac{\pi}{3} \end{cases}$$

в) Рисунок 17:

На луче $(-∞; 0]$ изображена дуга синусоиды:

Уравнение синусоиды имеет вид:
$y = a \sin(kx + b) + c.$

• Центр симметрии синусоиды: Вершина синусоиды на графике расположена в точке $(0; 0)$, что означает $b = 0$ и $c = 0$:
  $y = a \sin(kx).$
• Нахождение $a$ и $k$: Вершина синусоиды находится в точке $\left(-\frac{\pi}{4}; -1\right)$, что означает, что синусоида достигает минимального значения $-1$ в точке $x = -\frac{\pi}{4}$. Подставим эту точку в уравнение:
  $-1 = a \sin(k \cdot \left(-\frac{\pi}{4}\right)).$
  Поскольку синус достигает минимального значения $-1$ при $x = -\frac{\pi}{4}$, то:
  $\sin(k \cdot (-\frac{\pi}{4})) = -1 \quad \Rightarrow \quad k \cdot (-\frac{\pi}{4}) = -\frac{\pi}{2} \quad \Rightarrow \quad k = 2.$

  Таким образом, уравнение синусоиды на отрезке $(-∞; 0]$ будет:
  $y = \sin 2x.$

На луче $(0; +∞)$ изображена дуга синусоиды:

Уравнение синусоиды:
$y = a \cos(kx + b) + c.$

• Центр симметрии синусоиды: Вершина синусоиды на графике расположена в точке $(0; 2)$, что означает $b = 0$ и $c = 0$, а также $a = 2$:
  $y = 2 \cos(kx).$
• Нахождение $k$: График пересекает ось $Ox$ в точке $\left(\frac{\pi}{2}; 0\right)$. Подставим точку $\left(\frac{\pi}{2}; 0\right)$ в уравнение:
  $0 = 2 \cos(k \cdot \frac{\pi}{2}).$
  Для того чтобы косинус был равен нулю в точке $\frac{\pi}{2}$, значение $k = 1$, так как $\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0$.

  Таким образом, уравнение синусоиды на отрезке $(0; +∞)$ будет:
  $y = 2 \cos x.$

Ответ для части в):

$$y = \begin{cases} \sin 2x, & \text{если } x \leq 0 \\ 2 \cos x, & \text{если } x > 0 \end{cases}$$

г) Рисунок 18:

На луче $(-∞; 0]$ изображена дуга синусоиды:

Уравнение синусоиды:
$y = a \sin(kx + b) + c.$

• Центр симметрии синусоиды: Вершина синусоиды на графике расположена в точке $(0; 0)$, что означает $b = 0$ и $c = 0$:
  $y = a \sin(kx).$
• Нахождение $a$ и $k$: Вершина синусоиды находится в точке $\left(-\frac{\pi}{2}; 2\right)$, что означает, что синусоида достигает минимального значения $-2$ при $x = -\frac{\pi}{2}$. Подставим это в уравнение:
  $-2 = -2 \sin(k \cdot \left(-\frac{\pi}{2}\right)).$
  Поскольку синус достигает минимального значения $-1$ при $x = -\frac{\pi}{2}$, то $k = 1$. Таким образом, уравнение на отрезке $(-∞; 0]$ будет:
  $y = -2 \sin x.$

На луче $(0; +∞)$ изображена дуга синусоиды:

Уравнение синусоиды:
$y = a \cos(kx + b) + c.$

• Центр симметрии синусоиды: Вершина синусоиды на графике расположена в точке $(0; 1)$, что означает $b = 0$, $c = 0$, и $a = 1$:
  $y = \cos(kx).$
• Нахождение $k$: График пересекает ось $Ox$ в точке $(π; 0)$, что означает, что $k = \frac{1}{2}$, так как $\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0$.

  Таким образом, уравнение синусоиды на отрезке $(0; +∞)$ будет:
  $y = \cos \frac{x}{2}.$

Ответ для части г):

$$y=\{\begin{array}{ll}-2\sin x,& \text{если }x\le 0\\ \cos \frac{x}{2},& \text{если }x>0\end{array}$$$$y = \begin{cases} -2 \sin x, & \text{если } x \leq 0 \\ \cos \frac{x}{2}, & \text{если } x > 0 \end{cases}$$