ГДЗ 10-11 Класс Номер 13.3 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найти наименьшее и наибольшее значения функции $y = 2 \cos x$:

а) На отрезке $\left[ -\frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{2} \right]$;

Функция возрастает на $\left[ -\frac{\pi}{2} ; 0 \right]$ и убывает на $\left[ 0 ; \frac{\pi}{2} \right]$;

$$y \left( -\frac{\pi}{2} \right) = 2 \cos \left( -\frac{\pi}{2} \right) = 2 \cos \frac{\pi}{2} = 2 \cdot 0 = 0;$$ $$y(0) = 2 \cos 0 = 2 \cdot 1 = 2;$$ $$y \left( \frac{\pi}{2} \right) = 2 \cos \frac{\pi}{2} = 2 \cdot 0 = 0;$$

Ответ: $y_{\text{наим}} = 0$; $y_{\text{наиб}} = 2$.

б) На интервале $\left( 0 ; \frac{3\pi}{2} \right)$;

Функция возрастает на $\left[ \pi ; \frac{3\pi}{2} \right)$ и убывает на $(0 ; \pi]$;

$$y(0) = 2 \cos 0 = 2 \cdot 1 = 2;$$ $$y(\pi) = 2 \cos \pi = 2 \cdot (-1) = -2;$$ $$y \left( \frac{3\pi}{2} \right) = 2 \cos \frac{3\pi}{2} = 2 \cdot 0 = 0;$$

Ответ: $y_{\text{наим}} = -2$; $y_{\text{наиб}} = \text{нет}$.

в) На полуинтервале $\left[ \frac{\pi}{3} ; \frac{3\pi}{2} \right)$;

Функция возрастает на $\left[ \pi ; \frac{3\pi}{2} \right)$ и убывает на $\left[ \frac{\pi}{3} ; \pi \right]$;

$$y \left( \frac{\pi}{3} \right) = 2 \cos \frac{\pi}{3} = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1;$$ $$y(\pi) = 2 \cos \pi = 2 \cdot (-1) = -2;$$ $$y \left( \frac{3\pi}{2} \right) = 2 \cos \frac{3\pi}{2} = 2 \cdot 0 = 0;$$

Ответ: $y_{\text{наим}} = -2$; $y_{\text{наиб}} = 1$.

г) На отрезке $\left[ -\frac{3\pi}{2} ; -\frac{\pi}{4} \right]$;

Функция возрастает на $\left[ -\pi ; -\frac{\pi}{4} \right]$ и убывает на $\left[ -\frac{3\pi}{2} ; -\pi \right]$;

$$y \left( -\frac{3\pi}{2} \right) = 2 \cos \left( -\frac{3\pi}{2} \right) = 2 \cos \frac{3\pi}{2} = 2 \cdot 0 = 0;$$ $$y(-\pi) = 2 \cos (-\pi) = 2 \cos \pi = 2 \cdot (-1) = -2;$$ $$y \left( -\frac{\pi}{4} \right) = 2 \cos \left( -\frac{\pi}{4} \right) = 2 \cos \frac{\pi}{4} = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2};$$

Ответ: $y_{\text{наим}} = -2$; $y_{\text{наиб}} = \sqrt{2}$.

Найти наименьшее и наибольшее значения функции $y = 2 \cos x$.

а) На отрезке $\left[ -\frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{2} \right]$

Анализ поведения функции:

• Функция $y = 2 \cos x$ является стандартной косинусной функцией с амплитудой 2. Косинусная функция является четной, то есть $\cos(-x) = \cos(x)$.
• Мы рассматриваем отрезок $\left[ -\frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{2} \right]$, на котором:
  • Функция возрастает на интервале $\left[ -\frac{\pi}{2} ; 0 \right]$,
  • Функция убывает на интервале $\left[ 0 ; \frac{\pi}{2} \right]$.

Нахождение значений функции:

• Важно вычислить значение функции на концах отрезка и в точке, где функция может достичь максимума или минимума, то есть в точке, где её производная равна нулю.

Для функции $y = 2 \cos x$ производная будет:

$$\frac{dy}{dx} = -2 \sin x$$

• Точка, где производная равна нулю, — это точка, где $\sin x = 0$. Это происходит в точке $x = 0$, как мы и видим на рассматриваемом отрезке.

Теперь вычислим значения функции в критических точках:

• $y \left( -\frac{\pi}{2} \right) = 2 \cos \left( -\frac{\pi}{2} \right) = 2 \cdot 0 = 0$,
• $y(0) = 2 \cos 0 = 2 \cdot 1 = 2$,
• $y \left( \frac{\pi}{2} \right) = 2 \cos \frac{\pi}{2} = 2 \cdot 0 = 0$.

Ответ:

• Наименьшее значение функции: $y_{\text{наим}} = 0$,
• Наибольшее значение функции: $y_{\text{наиб}} = 2$.

б) На интервале $\left( 0 ; \frac{3\pi}{2} \right)$

Анализ поведения функции:

• На интервале $\left( 0 ; \frac{3\pi}{2} \right)$ функция убывает на промежутке $(0 ; \pi]$, и возрастает на интервале $\left[ \pi ; \frac{3\pi}{2} \right)$.

Нахождение значений функции:

• Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения, вычислим значения функции на концах интервала и в критической точке:

$$y(0) = 2 \cos 0 = 2 \cdot 1 = 2,$$ $$y(\pi) = 2 \cos \pi = 2 \cdot (-1) = -2,$$ $$y \left( \frac{3\pi}{2} \right) = 2 \cos \frac{3\pi}{2} = 2 \cdot 0 = 0.$$

Ответ:

• Наименьшее значение функции: $y_{\text{наим}} = -2$,
• Наибольшее значение функции на этом интервале не существует, так как значение $y = 2$ не достигается на данном интервале (оно достигается только при $x = 0$, который не входит в интервал).

в) На полуинтервале $\left[ \frac{\pi}{3} ; \frac{3\pi}{2} \right)$

Анализ поведения функции:

• На полуинтервале $\left[ \frac{\pi}{3} ; \frac{3\pi}{2} \right)$ функция убывает на интервале $\left[ \frac{\pi}{3} ; \pi \right]$ и возрастает на интервале $\left[ \pi ; \frac{3\pi}{2} \right)$.

Нахождение значений функции:

• Вычислим значения функции в концах интервала и в критической точке:

$$y \left( \frac{\pi}{3} \right) = 2 \cos \frac{\pi}{3} = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1,$$ $$y(\pi) = 2 \cos \pi = 2 \cdot (-1) = -2,$$ $$y \left( \frac{3\pi}{2} \right) = 2 \cos \frac{3\pi}{2} = 2 \cdot 0 = 0.$$

Ответ:

• Наименьшее значение функции: $y_{\text{наим}} = -2$,
• Наибольшее значение функции: $y_{\text{наиб}} = 1$.

г) На отрезке $\left[ -\frac{3\pi}{2} ; -\frac{\pi}{4} \right]$

Анализ поведения функции:

• На отрезке $\left[ -\frac{3\pi}{2} ; -\frac{\pi}{4} \right]$ функция убывает на интервале $\left[ -\frac{3\pi}{2} ; -\pi \right]$ и возрастает на интервале $\left[ -\pi ; -\frac{\pi}{4} \right]$.

Нахождение значений функции:

• Вычислим значения функции на концах отрезка и в критической точке:

$$y \left( -\frac{3\pi}{2} \right) = 2 \cos \left( -\frac{3\pi}{2} \right) = 2 \cdot 0 = 0,$$ $$y(-\pi) = 2 \cos (-\pi) = 2 \cos \pi = 2 \cdot (-1) = -2,$$ $$y \left( -\frac{\pi}{4} \right) = 2 \cos \left( -\frac{\pi}{4} \right) = 2 \cos \frac{\pi}{4} = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}.$$

Ответ:

• Наименьшее значение функции: $y_{\text{наим}} = -2$,
• Наибольшее значение функции: $y_{\text{наиб}} = \sqrt{2}$.

Итоговые ответы:

а) Наименьшее значение: $0$, наибольшее значение: $2$,

б) Наименьшее значение: $-2$, наибольшее значение: не существует,

в) Наименьшее значение: $-2$, наибольшее значение: $1$,

г) Наименьшее значение: $-2$, наибольшее значение: $\sqrt{2}$.