ГДЗ 10-11 Класс Номер 13.4 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найти наименьшее и наибольшее значения функции $y = -3 \sin x$.

а) На луче $[0; +\infty)$;

В промежуток входит полный период $T = 2\pi$ функции:

$$-1 \leq \sin x \leq 1;$$ $$-1 \leq -\sin x \leq 1;$$ $$-3 \leq -3 \sin x \leq 3;$$

Ответ: $y_{\text{наим}} = -3$; $y_{\text{наиб}} = 3$.

б) На открытом луче $\left( -\infty; \frac{\pi}{2} \right)$;

В промежуток входит полный период $T = 2\pi$ функции:

$$-1 \leq \sin x \leq 1;$$ $$-1 \leq -\sin x \leq 1;$$ $$-3 \leq -3 \sin x \leq 3;$$

Ответ: $y_{\text{наим}} = -3$; $y_{\text{наиб}} = 3$.

в) На луче $\left[ \frac{\pi}{4}; +\infty \right)$;

В промежуток входит полный период $T = 2\pi$ функции:

$$-1 \leq \sin x \leq 1;$$ $$-1 \leq -\sin x \leq 1;$$ $$-3 \leq -3 \sin x \leq 3;$$

Ответ: $y_{\text{наим}} = -3$; $y_{\text{наиб}} = 3$.

г) На открытом луче $(- \infty; 0)$;

В промежуток входит полный период $T = 2\pi$ функции:

$$-1 \leq \sin x \leq 1;$$ $$-1 \leq -\sin x \leq 1;$$ $$-3 \leq -3 \sin x \leq 3;$$

Ответ: $y_{\text{наим}} = -3$; $y_{\text{наиб}} = 3$.

а) На луче $[0; +\infty)$

Анализ функции $y = -3 \sin x$:

Функция $y = -3 \sin x$ является преобразованием функции $\sin x$ с коэффициентом $-3$ перед синусом. Это означает, что:

• Амплитуда функции $\sin x$ равна 1, а амплитуда функции $-3 \sin x$ будет равна 3 (поскольку коэффициент $-3$ растягивает и переворачивает график синуса).
• Значения функции $\sin x$ изменяются в пределах от $-1$ до $1$ для любого значения $x$. Следовательно, $-\sin x$ изменяется в пределах от $-1$ до $1$, и умножение на $-3$ масштабирует эти значения в интервал $[-3; 3]$.

Интервал:

На интервале $[0; +\infty)$ функция $\sin x$ будет принимать все значения от $-1$ до $1$ на каждом периоде $T = 2\pi$. Причем на данном интервале будет несколько полных периодов функции $\sin x$.

Нахождение наибольшего и наименьшего значения:

• Минимальное значение функции $\sin x$ равно $-1$, следовательно, $y = -3 \sin x$ будет минимальным при $\sin x = 1$, то есть:

  $$y_{\text{min}} = -3 \times 1 = -3.$$

• Максимальное значение функции $\sin x$ равно $1$, следовательно, $y = -3 \sin x$ будет максимальным при $\sin x = -1$, то есть:

  $$y_{\text{max}} = -3 \times (-1) = 3.$$

Ответ: наименьшее значение $y_{\text{min}} = -3$, наибольшее значение $y_{\text{max}} = 3$.

б) На открытом луче $\left( -\infty; \frac{\pi}{2} \right)$

Анализ функции $y = -3 \sin x$:

Суть анализа аналогична предыдущему случаю. Мы рассматриваем те же значения функции $\sin x$, однако важно отметить, что мы ограничиваемся определенным промежутком.

Интервал:

На интервале $\left( -\infty; \frac{\pi}{2} \right)$ функция $\sin x$ продолжает изменяться, но важно заметить, что полный период $T = 2\pi$ функции $\sin x$ входит в этот интервал. Это значит, что на данном промежутке функция примет все значения от $-1$ до $1$, и, соответственно, $-3 \sin x$ будет принимать все значения от $-3$ до $3$.

Нахождение наибольшего и наименьшего значения:

• Минимальное значение $\sin x = 1$, следовательно:

  $$y_{\text{min}} = -3 \times 1 = -3.$$

• Максимальное значение $\sin x = -1$, следовательно:

  $$y_{\text{max}} = -3 \times (-1) = 3.$$

Ответ: наименьшее значение $y_{\text{min}} = -3$, наибольшее значение $y_{\text{max}} = 3$.

в) На луче $\left[ \frac{\pi}{4}; +\infty \right)$

Анализ функции $y = -3 \sin x$:

Аналогичный анализ функции $y = -3 \sin x$, где значения синуса будут изменяться от $-1$ до $1$, и соответственно $y = -3 \sin x$ будет изменяться в пределах от $-3$ до $3$.

Интервал:

На интервале $\left[ \frac{\pi}{4}; +\infty \right)$ функция $\sin x$ снова примет все значения от $-1$ до $1$ на каждом периоде $T = 2\pi$. Следовательно, полный период функции $\sin x$ также будет включен в этот интервал.

Нахождение наибольшего и наименьшего значения:

• Минимальное значение $\sin x = 1$, следовательно:

  $$y_{\text{min}} = -3 \times 1 = -3.$$

• Максимальное значение $\sin x = -1$, следовательно:

  $$y_{\text{max}} = -3 \times (-1) = 3.$$

Ответ: наименьшее значение $y_{\text{min}} = -3$, наибольшее значение $y_{\text{max}} = 3$.

г) На открытом луче $(- \infty; 0)$

Анализ функции $y = -3 \sin x$:

Суть анализа снова аналогична: на данном интервале функция $\sin x$ изменяется в пределах от $-1$ до $1$, и умножение на $-3$ масштабирует эти значения в интервал $[-3; 3]$.

Интервал:

На интервале $(-\infty; 0)$ функция $\sin x$ продолжает изменяться в пределах от $-1$ до $1$, и аналогично предыдущим случаям, на данном интервале будет несколько полных периодов функции $\sin x$.

Нахождение наибольшего и наименьшего значения:

• Минимальное значение $\sin x = 1$, следовательно:

  $$y_{\text{min}} = -3 \times 1 = -3.$$

• Максимальное значение $\sin x = -1$, следовательно:

  $$y_{\text{max}} = -3 \times (-1) = 3.$$

Ответ: наименьшее значение $y_{\text{min}} = -3$, наибольшее значение $y_{\text{max}} = 3$.