ГДЗ 10-11 Класс Номер 13.6 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Известно, что $f(x) = -\frac{1}{2} \cos x$, найти:

а) $f(-x) = -\frac{1}{2} \cos(-x) = -0,5 \cos x$;

б) $2f(x) = 2 \cdot \left( -\frac{1}{2} \cos x \right) = -\cos x$;

в) $f(x + 2\pi) = -\frac{1}{2} \cos(x + 2\pi) = -0,5 \cos x$;

г) $f(-x) — f(x) = -\frac{1}{2} \cos(-x) — \left( -\frac{1}{2} \cos x \right) = -\frac{1}{2} \cos x + \frac{1}{2} \cos x = 0$.

Известно, что $f(x) = -\frac{1}{2} \cos x$. Разберем каждый пункт задачи и подробно выполним все вычисления.

а) $f(-x)$

Шаг 1: Подставим $-x$ в функцию $f(x) = -\frac{1}{2} \cos x$:

$$f(-x) = -\frac{1}{2} \cos(-x)$$

Шаг 2: Используем свойство косинуса: косинус — четная функция, то есть:

$$\cos(-x) = \cos(x)$$

Шаг 3: Подставим это свойство в выражение для $f(-x)$:

$$f(-x) = -\frac{1}{2} \cos(x)$$

Ответ: $f(-x) = -\frac{1}{2} \cos x$.

б) $2f(x)$

Шаг 1: Подставим выражение для $f(x) = -\frac{1}{2} \cos x$:

$$2f(x) = 2 \cdot \left( -\frac{1}{2} \cos x \right)$$

Шаг 2: Умножим:

$$2f(x) = -\cos x$$

Ответ: $2f(x) = -\cos x$.

в) $f(x + 2\pi)$

Шаг 1: Подставим $x + 2\pi$ в функцию $f(x) = -\frac{1}{2} \cos x$:

$$f(x + 2\pi) = -\frac{1}{2} \cos(x + 2\pi)$$

Шаг 2: Используем свойство косинуса, что косинус периодичен с периодом $2\pi$, то есть:

$$\cos(x + 2\pi) = \cos(x)$$

Шаг 3: Подставим это свойство в выражение для $f(x + 2\pi)$:

$$f(x + 2\pi) = -\frac{1}{2} \cos(x)$$

Ответ: $f(x + 2\pi) = -\frac{1}{2} \cos x$.

г) $f(-x) — f(x)$

Шаг 1: Из предыдущих пунктов мы знаем, что:

$$f(-x) = -\frac{1}{2} \cos(-x) = -\frac{1}{2} \cos x$$

и

$$f(x) = -\frac{1}{2} \cos x$$

Шаг 2: Найдем выражение для $f(-x) — f(x)$:

$$f(-x) — f(x) = -\frac{1}{2} \cos(-x) — \left( -\frac{1}{2} \cos x \right)$$

Шаг 3: Подставим $\cos(-x) = \cos(x)$ (так как косинус — четная функция):

$$f(-x) — f(x) = -\frac{1}{2} \cos x + \frac{1}{2} \cos x$$

Шаг 4: Упростим выражение:

$$f(-x) — f(x) = 0$$

Ответ: $f(-x) — f(x) = 0$.

Общий вывод:

• $f(-x) = -\frac{1}{2} \cos x$
• $2f(x) = -\cos x$
• $f(x + 2\pi) = -\frac{1}{2} \cos x$
• $f(-x) — f(x) = 0$