ГДЗ 10-11 Класс Номер 13.9 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Построить и прочитать график функции $y = f(x)$:

В данной задаче $n$ — целое неотрицательное число;

а)

$$y = \begin{cases} 3 \sin x, & \text{если } x < \frac{\pi}{2} \\ 2 \cos x + 3, & \text{если } x \geq \frac{\pi}{2} \end{cases}$$

$y = 3 \sin x$ — уравнение синусоиды:

$$y\left(\frac{\pi}{2}\right) = 3 \sin \frac{\pi}{2} = 3 \cdot 1 = 3;$$

$y = 2 \cos x + 3$ — уравнение синусоиды:

$$y\left(\frac{\pi}{2}\right) = 2 \cos \frac{\pi}{2} + 3 = 2 \cdot 0 + 3 = 3;$$

График функции:

Свойства функции:

• $D(f) = (-\infty; +\infty); \quad E(f) = [-3; 5];$
• Возрастает на $\left[-\frac{\pi}{2} — 2\pi n; \frac{\pi}{2} — 2\pi n\right] \cup [\pi + 2\pi n; 2\pi + 2\pi n];$
• Убывает на $\left[-\frac{3\pi}{2} — 2\pi n; -\frac{\pi}{2} — 2\pi n\right] \cup \left[\frac{\pi}{2}; \pi\right] \cup [2\pi + 2\pi n; 3\pi + 2\pi n];$
• $f(x) > 0$ на $(-2\pi — 2\pi n; -\pi — 2\pi n) \cup (0; +\infty);$
• $f(x) < 0$ на $(-\pi — 2\pi n; -2\pi n);$
• Ограничена снизу и сверху;
• $y_{\min} = y\left(-\frac{\pi}{2}\right) = -3;$
• $y_{\max} = y(2\pi) = 5;$
• Ни четная, ни нечетная;
• Не является периодической;
• Непрерывна на $(-\infty; +\infty);$

б)

$$y = \begin{cases} -2 \cos x, & \text{если } x < 0 \\ \frac{1}{2} x^4, & \text{если } x \geq 0 \end{cases}$$

$y = -2 \cos x$ — уравнение синусоиды:

$$y(0) = -2 \cos 0 = -2 \cdot 1 = -2;$$

$y = \frac{1}{2} x^4$ — уравнение параболы:

$$x_0 = 0, \quad y_0 = 0;$$

Таблица значений:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & 0 & 1 & 1.5 \\ \hline y & 0 & 0.5 & \approx 2.5 \\ \hline \end{array}$$

Графики функции:

Свойства функции:

• $D(f) = (-\infty; +\infty); \quad E(f) = [-2; +\infty);$
• Возрастает на $[-2\pi — 2\pi n; -\pi — 2\pi n] \cup [0; +\infty);$
• Убывает на $[-\pi — 2\pi n; -2\pi n];$
• $f(x) > 0$ на $\left(-\frac{3\pi}{2} — 2\pi n; -\frac{\pi}{2} — 2\pi n\right) \cup (0; +\infty);$
• $f(x) < 0$ на $\left(-\frac{5\pi}{2} — 2\pi n; -\frac{3\pi}{2} — 2\pi n\right) \cup \left(-\frac{\pi}{2}; 0\right);$
• Ограничена снизу;
• $y_{\min} = y(-2\pi) = -2;$
• Ни четная, ни нечетная;
• Не является периодической;
• Непрерывна на $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$

Построить и прочитать график функции $y = f(x)$:

В данной задаче $n$ — целое неотрицательное число;

а)

$$y = \begin{cases} 3 \sin x, & \text{если } x < \frac{\pi}{2} \\ 2 \cos x + 3, & \text{если } x \geq \frac{\pi}{2} \end{cases}$$

Разбор функции:

Первая часть функции: $y = 3 \sin x$ для $x < \frac{\pi}{2}$:

• $y = 3 \sin x$ — это стандартная синусоида, умноженная на 3.
• Максимальное значение синуса $\sin x$ равно 1, следовательно, максимальное значение функции $y = 3 \sin x$ будет равно 3.
• Минимальное значение $\sin x$ равно -1, следовательно, минимальное значение функции $y = 3 \sin x$ будет равно -3.
• Период функции $\sin x$ равен $2\pi$, однако в данном случае мы ограничиваем областью $x < \frac{\pi}{2}$, то есть рассматриваем только первую четверть.

Для $x < \frac{\pi}{2}$:

$$y\left(\frac{\pi}{2}\right) = 3 \sin \frac{\pi}{2} = 3 \cdot 1 = 3$$

Это означает, что график синусоиды будет плавно возрастать от 0 до 3 на интервале $x \in \left[0; \frac{\pi}{2}\right)$.

Вторая часть функции: $y = 2 \cos x + 3$ для $x \geq \frac{\pi}{2}$:

• $y = 2 \cos x + 3$ — это косинусоидальная функция, умноженная на 2 и сдвинутая вверх на 3 единицы.
• Период косинуса $\cos x$ равен $2\pi$, и в этой части функции она будет определена на интервале $x \geq \frac{\pi}{2}$.

Для $x = \frac{\pi}{2}$:

$$y\left(\frac{\pi}{2}\right) = 2 \cos \frac{\pi}{2} + 3 = 2 \cdot 0 + 3 = 3$$

Таким образом, на интервале $\left[\frac{\pi}{2}; +\infty\right)$ функция будет колебаться с амплитудой 2, начиная с $y = 3$.

График функции:

График состоит из двух частей:

• Для $x < \frac{\pi}{2}$ график — это растянутая синусоида, колеблющаяся от 0 до 3.
• Для $x \geq \frac{\pi}{2}$ график — это косинусоидальная функция с амплитудой 2, сдвинутая вверх на 3 единицы.

Свойства функции:

• Область определения: $D(f) = (-\infty; +\infty)$
• Область значений: $E(f) = [-3; 5]$
• Монотонность:
  • Функция возрастает на интервалах: $\left[-\frac{\pi}{2} — 2\pi n; \frac{\pi}{2} — 2\pi n\right] \cup [\pi + 2\pi n; 2\pi + 2\pi n]$
  • Функция убывает на интервалах: $\left[-\frac{3\pi}{2} — 2\pi n; -\frac{\pi}{2} — 2\pi n\right] \cup \left[\frac{\pi}{2}; \pi\right] \cup [2\pi + 2\pi n; 3\pi + 2\pi n]$
• Значения функции:
  • $f(x) > 0$ на интервалах $(-2\pi — 2\pi n; -\pi — 2\pi n) \cup (0; +\infty)$
  • $f(x) < 0$ на интервалах $(-\pi — 2\pi n; -2\pi n)$
• Ограниченность: Функция ограничена сверху и снизу:
  • Минимальное значение $y_{\min} = y\left(-\frac{\pi}{2}\right) = -3$
  • Максимальное значение $y_{\max} = y(2\pi) = 5$
• Симметрия: Функция не является ни четной, ни нечетной.
• Периодичность: Функция не является периодической, так как части функции не связаны между собой простыми периодами.
• Непрерывность: Функция непрерывна на всем $(-\infty; +\infty)$.

б)

$$y = \begin{cases} -2 \cos x, & \text{если } x < 0 \\ \frac{1}{2} x^4, & \text{если } x \geq 0 \end{cases}$$

Разбор функции:

Первая часть функции: $y = -2 \cos x$ для $x < 0$:

• $y = -2 \cos x$ — это отражение стандартной косинусоиды относительно оси $x$, растянутое в 2 раза вдоль оси $y$.
• Период косинуса $\cos x$ равен $2\pi$, но рассматриваем только интервал $x < 0$.

Для $x = 0$:

$$y(0) = -2 \cos 0 = -2 \cdot 1 = -2$$

Таким образом, на интервале $(-\infty; 0)$ график будет отражен относительно оси $x$ и колебаться от 0 до -2.

Вторая часть функции: $y = \frac{1}{2} x^4$ для $x \geq 0$:

• Это параболическая функция с коэффициентом $\frac{1}{2}$, начинающаяся с точки $(0, 0)$ и возрастающая.
• Парабола не имеет ограничения сверху, она растет очень быстро с увеличением $x$.

Для $x = 1$:

$$y(1) = \frac{1}{2} \cdot 1^4 = 0.5$$

Для $x = 1.5$:

$$y(1.5) = \frac{1}{2} \cdot (1.5)^4 \approx 2.5$$

Таблица значений:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & 0 & 1 & 1.5 \\ \hline y & 0 & 0.5 & \approx 2.5 \\ \hline \end{array}$$

Графики функции:

График состоит из двух частей:

• Для $x < 0$ график — это отраженная косинусоида, растянутая вдоль оси $y$.
• Для $x \geq 0$ график — это парабола, начинающаяся с $(0, 0)$ и растущая вверх.

Свойства функции:

• Область определения: $D(f) = (-\infty; +\infty)$
• Область значений: $E(f) = [-2; +\infty)$
• Монотонность:
  • Функция возрастает на интервалах: $[-2\pi — 2\pi n; -\pi — 2\pi n] \cup [0; +\infty)$
  • Функция убывает на интервалах: $[-\pi — 2\pi n; -2\pi n]$
• Значения функции:
  • $f(x) > 0$ на интервалах $\left(-\frac{3\pi}{2} — 2\pi n; -\frac{\pi}{2} — 2\pi n\right) \cup (0; +\infty)$
  • $f(x) < 0$ на интервалах $\left(-\frac{5\pi}{2} — 2\pi n; -\frac{3\pi}{2} — 2\pi n\right) \cup \left(-\frac{\pi}{2}; 0\right)$
• Ограниченность: Функция ограничена снизу, минимальное значение $y_{\min} = -2$ для $x = -2\pi$.
• Симметрия: Функция не является ни четной, ни нечетной.
• Периодичность: Функция не является периодической.
• Непрерывность: Функция непрерывна на $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.