ГДЗ 10-11 Класс Номер 14.1 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найти значение функции $y = \operatorname{tg} x$ при заданном значении аргумента:

а) $x = \frac{\pi}{4}$;
$y\left(\frac{\pi}{4}\right) = \operatorname{tg} \frac{\pi}{4} = 1;$
Ответ: 1.

б) $x = \frac{2\pi}{3}$;
$y\left(\frac{2\pi}{3}\right) = \operatorname{tg} \frac{2\pi}{3} = \operatorname{tg}\left(\pi — \frac{\pi}{3}\right) = -\operatorname{tg} \frac{\pi}{3} = -\sqrt{3};$
Ответ: $-\sqrt{3}$.

в) $x = \frac{3\pi}{4}$;
$y\left(\frac{3\pi}{4}\right) = \operatorname{tg} \frac{3\pi}{4} = \operatorname{tg}\left(\pi — \frac{\pi}{4}\right) = -\operatorname{tg} \frac{\pi}{4} = -1;$
Ответ: -1.

г) $x = \pi$;
$y(\pi) = \operatorname{tg} \pi = 0;$
Ответ: 0.

Общие сведения:

Функция $\operatorname{tg} x$ или $\tan(x)$ представляет собой тангенс угла $x$ в прямоугольном треугольнике. Он равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету. В тригонометрии тангенс можно выразить через синус и косинус:

$$\operatorname{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x}.$$

Тангенс имеет период $\pi$, то есть для любого угла $x$ выполняется равенство:

$$\operatorname{tg}(x + \pi) = \operatorname{tg}(x).$$

Теперь рассмотрим подробное решение для каждого значения аргумента.

а) $x = \frac{\pi}{4}$

Задача: найти значение $y\left(\frac{\pi}{4}\right) = \operatorname{tg} \frac{\pi}{4}$.

Мы знаем, что $\operatorname{tg}$ является отношением синуса и косинуса, то есть:

$$\operatorname{tg} \frac{\pi}{4} = \frac{\sin \frac{\pi}{4}}{\cos \frac{\pi}{4}}.$$

Из известных значений тригонометрических функций для угла $\frac{\pi}{4}$ (или 45 градусов) следует, что:

$$\sin \frac{\pi}{4} = \cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}.$$

Подставим эти значения в выражение для тангенса:

$$\operatorname{tg} \frac{\pi}{4} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 1.$$

Ответ: $1$.

б) $x = \frac{2\pi}{3}$

Задача: найти значение $y\left(\frac{2\pi}{3}\right) = \operatorname{tg} \frac{2\pi}{3}$.

Для угла $\frac{2\pi}{3}$ (или 120 градусов) используем формулу для тангенса угла через $\pi$. Мы знаем, что:

$$\operatorname{tg} \left(\pi — \alpha\right) = -\operatorname{tg} \alpha.$$

Применим это к нашему углу:

$$\frac{2\pi}{3} = \pi — \frac{\pi}{3}.$$

То есть:

$$\operatorname{tg} \frac{2\pi}{3} = \operatorname{tg} \left(\pi — \frac{\pi}{3}\right) = -\operatorname{tg} \frac{\pi}{3}.$$

Теперь находим $\operatorname{tg} \frac{\pi}{3}$. Из известных значений тригонометрических функций:

$$\operatorname{tg} \frac{\pi}{3} = \sqrt{3}.$$

Следовательно:

$$\operatorname{tg} \frac{2\pi}{3} = -\sqrt{3}.$$

Ответ: $-\sqrt{3}$.

в) $x = \frac{3\pi}{4}$

Задача: найти значение $y\left(\frac{3\pi}{4}\right) = \operatorname{tg} \frac{3\pi}{4}$.

Используем аналогичную формулу для углов:

$$\operatorname{tg} \left(\pi — \alpha\right) = -\operatorname{tg} \alpha.$$

Для угла $\frac{3\pi}{4}$ (или 135 градусов):

$$\frac{3\pi}{4} = \pi — \frac{\pi}{4}.$$

То есть:

$$\operatorname{tg} \frac{3\pi}{4} = \operatorname{tg} \left(\pi — \frac{\pi}{4}\right) = -\operatorname{tg} \frac{\pi}{4}.$$

Находим $\operatorname{tg} \frac{\pi}{4}$:

$$\operatorname{tg} \frac{\pi}{4} = 1.$$

Следовательно:

$$\operatorname{tg} \frac{3\pi}{4} = -1.$$

Ответ: $-1$.

г) $x = \pi$

Задача: найти значение $y(\pi) = \operatorname{tg} \pi$.

Известно, что:

$$\operatorname{tg} \pi = \frac{\sin \pi}{\cos \pi}.$$

Значения синуса и косинуса для угла $\pi$ (или 180 градусов) равны:

$$\sin \pi = 0, \quad \cos \pi = -1.$$

Подставим эти значения:

$$\operatorname{tg} \pi = \frac{0}{-1} = 0.$$

Ответ: $0$.

Итоговые ответы:

а) $\operatorname{tg} \frac{\pi}{4} = 1$.

б) $\operatorname{tg} \frac{2\pi}{3} = -\sqrt{3}$.

в) $\operatorname{tg} \frac{3\pi}{4} = -1$.

г) $\operatorname{tg} \pi = 0$.