ГДЗ 10-11 Класс Номер 14.11 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Известно, что $\operatorname{ctg}(7\pi — x) = \frac{5}{7}$. Найдите tgx, ctgx.

Известно, что $\operatorname{ctg}(7\pi — x) = \frac{5}{7}$, найти $\operatorname{tg} \, x$ и $\operatorname{ctg} \, x$.

1) Значение котангенса:

$$\operatorname{ctg}(7\pi — x) = \frac{5}{7};$$ $$\operatorname{ctg}(-x) = \frac{5}{7};$$ $$-\operatorname{ctg} \, x = \frac{5}{7};$$ $$\operatorname{ctg} \, x = -\frac{5}{7};$$

2) Значение тангенса:

$$\operatorname{tg} \, x = \frac{1}{\operatorname{ctg} \, x} = 1 : \left( -\frac{5}{7} \right) = -\frac{7}{5};$$

Ответ: $\operatorname{tg} \, x = -\frac{7}{5}$; $\operatorname{ctg} \, x = -\frac{5}{7}$.

Известно, что $\operatorname{ctg}(7\pi — x) = \frac{5}{7}$, найти $\operatorname{tg} \, x$ и $\operatorname{ctg} \, x$.

1) Значение котангенса:

Дано, что:

$$\operatorname{ctg}(7\pi — x) = \frac{5}{7}$$

Шаг 1. Используем тригонометрическое свойство:

Мы знаем, что котангенс обладает свойством:

$$\operatorname{ctg}(7\pi — x) = \operatorname{ctg}(-x)$$

Это свойство основано на том, что котангенс — четная функция, то есть:

$$\operatorname{ctg}(-x) = \operatorname{ctg}(x)$$

Таким образом, из уравнения $\operatorname{ctg}(7\pi — x) = \frac{5}{7}$ получаем:

$$\operatorname{ctg}(-x) = \frac{5}{7}$$

Шаг 2. Применяем свойство котангенса:

Теперь используем свойство, что $\operatorname{ctg}(-x) = -\operatorname{ctg}(x)$, так как котангенс — это нечетная функция:

$$-\operatorname{ctg}(x) = \frac{5}{7}$$

Шаг 3. Находим $\operatorname{ctg}(x)$:

Умножаем обе стороны на $-1$:

$$\operatorname{ctg}(x) = -\frac{5}{7}$$

Таким образом, значение котангенса:

$$\operatorname{ctg}(x) = -\frac{5}{7}$$

2) Значение тангенса:

Теперь, зная значение $\operatorname{ctg}(x)$, найдём $\operatorname{tg}(x)$.

Шаг 1. Вспоминаем определение тангенса:

Тангенс и котангенс связаны между собой обратными величинами:

$$\operatorname{tg}(x) = \frac{1}{\operatorname{ctg}(x)}$$

Шаг 2. Подставляем значение $\operatorname{ctg}(x)$:

Мы уже нашли, что $\operatorname{ctg}(x) = -\frac{5}{7}$. Подставляем это значение в формулу для тангенса:

$$\operatorname{tg}(x) = \frac{1}{-\frac{5}{7}} = -\frac{7}{5}$$

Таким образом, значение тангенса:

$$\operatorname{tg}(x) = -\frac{7}{5}$$

Ответ:

• $\operatorname{tg}(x) = -\frac{7}{5}$
• $\operatorname{ctg}(x) = -\frac{5}{7}$