ГДЗ 10-11 Класс Номер 14.14 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Дана функция у = f(x), где f(x) = х² + 1. Докажите, что

$$f(\mathrm{tg}x)=\frac{1}{{\cos }^{2}x}.$$

Дана функция $f(x) = x^2 + 1$, доказать равенство:

$$f(\operatorname{tg} x) = \frac{1}{\cos^2 x};$$ $$\operatorname{tg}^2 x + 1 = \frac{1}{\cos^2 x};$$ $$\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} + 1 = \frac{1}{\cos^2 x};$$ $$\frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x};$$ $$\frac{1}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x};$$

Что и требовалось доказать.

Дана функция $f(x) = x^2 + 1$, нужно доказать равенство:

$$f(\operatorname{tg} x) = \frac{1}{\cos^2 x}$$

1. Подставляем функцию в уравнение:

Функция $f(x) = x^2 + 1$, поэтому подставляем $\operatorname{tg} x$ в $f(x)$:

$$f(\operatorname{tg} x) = (\operatorname{tg} x)^2 + 1$$

Таким образом, у нас получается:

$$f(\operatorname{tg} x) = \operatorname{tg}^2 x + 1$$

Теперь нужно доказать, что:

$$\operatorname{tg}^2 x + 1 = \frac{1}{\cos^2 x}$$

2. Преобразуем левую часть уравнения:

Тангенс можно выразить через синус и косинус:

$$\operatorname{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x}$$

Подставим это в $\operatorname{tg}^2 x + 1$:

$$\operatorname{tg}^2 x = \left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)^2 = \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}$$

Теперь подставим это в выражение $\operatorname{tg}^2 x + 1$:

$$\operatorname{tg}^2 x + 1 = \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} + 1$$

3. Преобразуем правую часть уравнения:

Теперь давайте упростим правую часть уравнения. Пишем её в виде:

$$\frac{1}{\cos^2 x}$$

Мы видим, что правую и левую части нужно привести к общему знаменателю.

4. Приводим левую часть к общему знаменателю:

Левая часть:

$$\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} + 1$$

Чтобы привести к общему знаменателю, пишем 1 как $\frac{\cos^2 x}{\cos^2 x}$:

$$\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} + \frac{\cos^2 x}{\cos^2 x}$$

Теперь объединяем дроби:

$$\frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\cos^2 x}$$

5. Используем тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$:

По основному тригонометрическому тождеству:

$$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$$

Подставляем это в выражение:

$$\frac{1}{\cos^2 x}$$

6. Заключение:

Мы получили:

$$\frac{1}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x}$$

Таким образом, равенство верно.

Что и требовалось доказать.