ГДЗ 10-11 Класс Номер 14.15 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Доказать, что данное число $T$ является периодом заданной функции:

а) $y = \operatorname{tg} 2x$, $T = \frac{\pi}{2}$;

$$y\left(x — \frac{\pi}{2}\right) = \operatorname{tg} 2\left(x — \frac{\pi}{2}\right) = \operatorname{tg}(2x — \pi) = \operatorname{tg} 2x;$$ $$y\left(x + \frac{\pi}{2}\right) = \operatorname{tg} 2\left(x + \frac{\pi}{2}\right) = \operatorname{tg}(2x + \pi) = \operatorname{tg} 2x;$$

Что и требовалось доказать.

б) $y = \operatorname{tg} \frac{x}{3}$, $T = 3\pi$;

$$y(x — 3\pi) = \operatorname{tg} \frac{x — 3\pi}{3} = \operatorname{tg}\left(\frac{x}{3} — \pi\right) = \operatorname{tg} \frac{x}{3};$$ $$y(x + 3\pi) = \operatorname{tg} \frac{x + 3\pi}{3} = \operatorname{tg}\left(\frac{x}{3} + \pi\right) = \operatorname{tg} \frac{x}{3};$$

Что и требовалось доказать.

в) $y = \operatorname{tg} 5x$, $T = \frac{\pi}{5}$;

$$y\left(x — \frac{\pi}{5}\right) = \operatorname{tg} 5\left(x — \frac{\pi}{5}\right) = \operatorname{tg}(5x — \pi) = \operatorname{tg} 5x;$$ $$y\left(x + \frac{\pi}{5}\right) = \operatorname{tg} 5\left(x + \frac{\pi}{5}\right) = \operatorname{tg}(5x + \pi) = \operatorname{tg} 5x;$$

Что и требовалось доказать.

г) $y = \operatorname{tg} \frac{2x}{5}$, $T = \frac{5\pi}{2}$;

$$y\left(x — \frac{5\pi}{2}\right) = \operatorname{tg} \frac{2}{5}\left(x — \frac{5\pi}{2}\right) = \operatorname{tg}\left(\frac{2x}{5} — \pi\right) = \operatorname{tg} \frac{2x}{5};$$ $$y\left(x + \frac{5\pi}{2}\right) = \operatorname{tg} \frac{2}{5}\left(x + \frac{5\pi}{2}\right) = \operatorname{tg}\left(\frac{2x}{5} + \pi\right) = \operatorname{tg} \frac{2x}{5};$$

Что и требовалось доказать.

Доказать, что данное число $T$ является периодом заданной функции:

а) $y = \operatorname{tg} 2x$, $T = \frac{\pi}{2}$;

Исходная функция:

Дана функция $y = \operatorname{tg}(2x)$. Тангенс $\operatorname{tg}(x)$ является периодической функцией с периодом $\pi$, но при изменении аргумента, период изменяется в зависимости от коэффициента перед $x$.

Общий период для $y = \operatorname{tg}(kx)$:

Для функции $y = \operatorname{tg}(kx)$, где $k$ — коэффициент перед $x$, период этой функции равен $\frac{\pi}{|k|}$. В данном случае $k = 2$, поэтому период будет равен:

$$T = \frac{\pi}{2}$$

Проверим периодичность функции:

Мы должны доказать, что функция $y = \operatorname{tg}(2x)$ повторяется через $T = \frac{\pi}{2}$. То есть нужно показать, что:

$$y(x + \frac{\pi}{2}) = y(x)$$

Подставляем $x + \frac{\pi}{2}$ в $y = \operatorname{tg}(2x)$:

$$y\left(x + \frac{\pi}{2}\right) = \operatorname{tg}\left(2\left(x + \frac{\pi}{2}\right)\right)$$

Упростим выражение:

$$y\left(x + \frac{\pi}{2}\right) = \operatorname{tg}\left(2x + \pi\right)$$

По свойствам тангенса, $\operatorname{tg}(x + \pi) = \operatorname{tg}(x)$. Следовательно:

$$y\left(x + \frac{\pi}{2}\right) = \operatorname{tg}(2x) = y(x)$$

Таким образом, мы доказали, что $y(x + \frac{\pi}{2}) = y(x)$, что означает, что период функции $y = \operatorname{tg}(2x)$ равен $\frac{\pi}{2}$.

Ответ: период функции $T = \frac{\pi}{2}$.

б) $y = \operatorname{tg} \frac{x}{3}$, $T = 3\pi$;

Исходная функция:

Дана функция $y = \operatorname{tg}\left(\frac{x}{3}\right)$. Тангенс имеет период $\pi$, но если аргумент изменяется как $\frac{x}{3}$, то период функции изменится.

Общий период для $y = \operatorname{tg}\left(\frac{x}{k}\right)$:

Для функции $y = \operatorname{tg}\left(\frac{x}{k}\right)$, где $k$ — коэффициент перед $x$, период функции будет равен:

$$T = \pi \cdot k$$

В данном случае $k = \frac{1}{3}$, поэтому:

$$T = \pi \cdot 3 = 3\pi$$

Проверим периодичность функции:

Нужно показать, что:

$$y(x + 3\pi) = y(x)$$

Подставляем $x + 3\pi$ в $y = \operatorname{tg}\left(\frac{x}{3}\right)$:

$$y(x + 3\pi) = \operatorname{tg}\left(\frac{x + 3\pi}{3}\right)$$

Упростим выражение:

$$y(x + 3\pi) = \operatorname{tg}\left(\frac{x}{3} + \pi\right)$$

По свойствам тангенса, $\operatorname{tg}(x + \pi) = \operatorname{tg}(x)$, следовательно:

$$y(x + 3\pi) = \operatorname{tg}\left(\frac{x}{3}\right) = y(x)$$

Мы доказали, что период функции $y = \operatorname{tg}\left(\frac{x}{3}\right)$ равен $3\pi$.

Ответ: период функции $T = 3\pi$.

в) $y = \operatorname{tg} 5x$, $T = \frac{\pi}{5}$;

Исходная функция:

Дана функция $y = \operatorname{tg}(5x)$. Период тангенса с коэффициентом перед $x$ определяется по аналогичной формуле.

Общий период для $y = \operatorname{tg}(kx)$:

Для функции $y = \operatorname{tg}(kx)$, где $k$ — коэффициент перед $x$, период функции равен:

$$T = \frac{\pi}{|k|}$$

В данном случае $k = 5$, поэтому:

$$T = \frac{\pi}{5}$$

Проверим периодичность функции:

Нужно показать, что:

$$y(x + \frac{\pi}{5}) = y(x)$$

Подставляем $x + \frac{\pi}{5}$ в $y = \operatorname{tg}(5x)$:

$$y(x + \frac{\pi}{5}) = \operatorname{tg}(5(x + \frac{\pi}{5}))$$

Упростим выражение:

$$y(x + \frac{\pi}{5}) = \operatorname{tg}(5x + \pi)$$

По свойствам тангенса, $\operatorname{tg}(x + \pi) = \operatorname{tg}(x)$, следовательно:

$$y(x + \frac{\pi}{5}) = \operatorname{tg}(5x) = y(x)$$

Мы доказали, что период функции $y = \operatorname{tg}(5x)$ равен $\frac{\pi}{5}$.

Ответ: период функции $T = \frac{\pi}{5}$.

г) $y = \operatorname{tg} \frac{2x}{5}$, $T = \frac{5\pi}{2}$;

Исходная функция:

Дана функция $y = \operatorname{tg}\left(\frac{2x}{5}\right)$. Для функции с аргументом $\frac{2x}{5}$, период будет зависеть от коэффициента $\frac{2}{5}$.

Общий период для $y = \operatorname{tg}\left(\frac{2x}{5}\right)$:

Для функции $y = \operatorname{tg}\left(\frac{2x}{5}\right)$, период будет равен:

$$T = \frac{\pi}{\left|\frac{2}{5}\right|} = \frac{5\pi}{2}$$

Проверим периодичность функции:

Нужно показать, что:

$$y\left(x + \frac{5\pi}{2}\right) = y(x)$$

Подставляем $x + \frac{5\pi}{2}$ в $y = \operatorname{tg}\left(\frac{2x}{5}\right)$:

$$y\left(x + \frac{5\pi}{2}\right) = \operatorname{tg}\left(\frac{2}{5}\left(x + \frac{5\pi}{2}\right)\right)$$

Упростим выражение:

$$y\left(x + \frac{5\pi}{2}\right) = \operatorname{tg}\left(\frac{2x}{5} + \pi\right)$$

По свойствам тангенса, $\operatorname{tg}(x + \pi) = \operatorname{tg}(x)$, следовательно:

$$y\left(x + \frac{5\pi}{2}\right) = \operatorname{tg}\left(\frac{2x}{5}\right) = y(x)$$

Мы доказали, что период функции $y = \operatorname{tg}\left(\frac{2x}{5}\right)$ равен $\frac{5\pi}{2}$.

Ответ: период функции $T = \frac{5\pi}{2}$.$T = \frac{5\pi}{2}$