ГДЗ 10-11 Класс Номер 14.16 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Доказать, что число $\pi$ является периодом функции:

а) $y = \operatorname{tg} x + \sin 2x — \operatorname{tg} 3x — \cos 4x$;

$y(x \pm \pi) = \operatorname{tg}(x \pm \pi) + \sin 2(x \pm \pi) — \operatorname{tg} 3(x \pm \pi) — \cos(4(x \pm \pi))$;

$y(x \pm \pi) = \operatorname{tg} x + \sin(2x \pm 2\pi) — \operatorname{tg}(3x \pm 3\pi) — \cos(4x \pm 4\pi)$;

$y(x \pm \pi) = \operatorname{tg} x + \sin 2x — \operatorname{tg} 3x — \cos 4x = y(x)$;

Что и требовалось доказать.

б) $y = \sin 3x + \cos 5x + \operatorname{ctg} x — 2 \operatorname{tg} 2x$;

$y(x \pm \pi) = \sin 3(x \pm \pi) + \cos 5(x \pm \pi) + \operatorname{ctg}(x \pm \pi) — 2 \operatorname{tg}(2(x \pm \pi))$;

$y(x \pm \pi) = \sin(3x \pm 3\pi) + \cos(5x \pm 5\pi) + \operatorname{ctg} x — 2 \operatorname{tg}(2x \pm 2\pi)$;

$y(x \pm \pi) = \sin(3x \pm \pi) + \cos(5x \pm \pi) + \operatorname{ctg} x — 2 \operatorname{tg} 2x$;

$y(x \pm \pi) = -\sin 3x — \cos 5x + \operatorname{ctg} x — 2 \operatorname{tg} 2x \neq y(x)$;

Не является периодом функции.

а) Доказать, что число $\pi$ является периодом функции:

Функция: $y = \operatorname{tg} x + \sin 2x — \operatorname{tg} 3x — \cos 4x$

Шаг 1: Записать функцию для $y(x \pm \pi)$

Мы начинаем с того, что заменим $x$ на $x \pm \pi$ в каждом из членов функции $y$:

$$y(x \pm \pi) = \operatorname{tg}(x \pm \pi) + \sin(2(x \pm \pi)) — \operatorname{tg}(3(x \pm \pi)) — \cos(4(x \pm \pi))$$

Шаг 2: Упростить каждый член

Теперь нам нужно упростить каждый из членов по отдельности, используя свойства периодичности тригонометрических функций.

Тангенс:

• $\operatorname{tg}(x \pm \pi) = \operatorname{tg}(x)$ (тангенс имеет период $\pi$).
  Таким образом:

$$\operatorname{tg}(x \pm \pi) = \operatorname{tg}(x)$$

Синус:

• $\sin(2(x \pm \pi)) = \sin(2x \pm 2\pi)$. Синус имеет период $2\pi$, поэтому:

$$\sin(2x \pm 2\pi) = \sin 2x$$

(периодичность синуса с периодом $2\pi$).

Тангенс с коэффициентом 3:

• $\operatorname{tg}(3(x \pm \pi)) = \operatorname{tg}(3x \pm 3\pi)$. Период тангенса также $\pi$, поэтому:

$$\operatorname{tg}(3x \pm 3\pi) = \operatorname{tg}(3x)$$

Косинус:

• $\cos(4(x \pm \pi)) = \cos(4x \pm 4\pi)$. Косинус имеет период $2\pi$, и следовательно:

$$\cos(4x \pm 4\pi) = \cos 4x$$

Шаг 3: Подставить упрощенные выражения

Теперь, подставив эти упрощения, мы получаем:

$$y(x \pm \pi) = \operatorname{tg}(x) + \sin 2x — \operatorname{tg}(3x) — \cos 4x$$

Как видно, это точно то же самое выражение, что и изначальная функция $y(x)$, то есть:

$$y(x \pm \pi) = y(x)$$

Шаг 4: Заключение

Мы доказали, что для функции $y = \operatorname{tg} x + \sin 2x — \operatorname{tg} 3x — \cos 4x$ период равен $\pi$, так как $y(x \pm \pi) = y(x)$.

б) Доказать, что число $\pi$ не является периодом функции:

Функция: $y = \sin 3x + \cos 5x + \operatorname{ctg} x — 2 \operatorname{tg} 2x$

Шаг 1: Записать функцию для $y(x \pm \pi)$

Заменяем $x$ на $x \pm \pi$ в каждом из членов функции $y$:

$$y(x \pm \pi) = \sin(3(x \pm \pi)) + \cos(5(x \pm \pi)) + \operatorname{ctg}(x \pm \pi) — 2 \operatorname{tg}(2(x \pm \pi))$$

Шаг 2: Упростить каждый член

Теперь упрощаем каждый из членов, используя свойства периодичности тригонометрических функций.

Синус:

• $\sin(3(x \pm \pi)) = \sin(3x \pm 3\pi)$. Синус имеет период $2\pi$, поэтому:

$$\sin(3x \pm 3\pi) = -\sin(3x)$$

(так как $\sin(x \pm \pi) = -\sin(x)$).

Косинус:

• $\cos(5(x \pm \pi)) = \cos(5x \pm 5\pi)$. Косинус имеет период $2\pi$, и поэтому:

$$\cos(5x \pm 5\pi) = -\cos(5x)$$

(так как $\cos(x \pm \pi) = -\cos(x)$).

Котангенс:

• $\operatorname{ctg}(x \pm \pi) = \operatorname{ctg}(x)$ (котангенс имеет период $\pi$).

Тангенс:

• $\operatorname{tg}(2(x \pm \pi)) = \operatorname{tg}(2x \pm 2\pi) = \operatorname{tg}(2x)$ (тангенс имеет период $\pi$).

Шаг 3: Подставить упрощенные выражения

Подставим полученные упрощения в выражение для $y(x \pm \pi)$:

$$y(x \pm \pi) = -\sin 3x — \cos 5x + \operatorname{ctg} x — 2 \operatorname{tg} 2x$$

Как видно, результат отличается от исходной функции $y(x) = \sin 3x + \cos 5x + \operatorname{ctg} x — 2 \operatorname{tg} 2x$, так как:

$$y(x \pm \pi) = -\sin 3x — \cos 5x + \operatorname{ctg} x — 2 \operatorname{tg} 2x \neq y(x)$$

Шаг 4: Заключение

Мы доказали, что для функции $y = \sin 3x + \cos 5x + \operatorname{ctg} x — 2 \operatorname{tg} 2x$ период $\pi$ не является периодом, так как $y(x \pm \pi) \neq y(x)$.