ГДЗ 10-11 Класс Номер 14.4 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найдите значение функции у = ctgx при заданном значении аргумента х:

а) $x = \frac{\pi}{4}$;

б) $x = \frac{\pi}{3}$;

в) $x = 2\pi$;

г) $x = \frac{\pi}{2}$

Найти значение функции $y = \operatorname{ctg} x$ при заданном значении аргумента:

а) $x = \frac{\pi}{4}$;
$y\left(\frac{\pi}{4}\right) = \operatorname{ctg} \frac{\pi}{4} = 1;$
Ответ: 1.

б) $x = \frac{\pi}{3}$;
$y\left(\frac{\pi}{3}\right) = \operatorname{ctg} \frac{\pi}{3} = \frac{1}{\sqrt{3}};$
Ответ: $\frac{1}{\sqrt{3}}$.

в) $x = 2\pi$;
$y(2\pi) = \operatorname{ctg} 2\pi — \text{нет};$
Ответ: не существует.

г) $x = \frac{\pi}{2}$;
$y\left(\frac{\pi}{2}\right) = \operatorname{ctg} \frac{\pi}{2} = 0;$
Ответ: 0.

Найти значение функции $y = \operatorname{ctg} x$ при заданном значении аргумента:

а) $x = \frac{\pi}{4}$

Функция $\operatorname{ctg} x$ — это котангенс угла $x$, который определяется как:

$$\operatorname{ctg} x = \frac{1}{\tan x}$$

Так как тангенс угла $x$ является отношением синуса и косинуса:

$$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$$

Следовательно:

$$\operatorname{ctg} x = \frac{1}{\frac{\sin x}{\cos x}} = \frac{\cos x}{\sin x}$$

Теперь подставим $x = \frac{\pi}{4}$:

$$\operatorname{ctg} \frac{\pi}{4} = \frac{\cos \frac{\pi}{4}}{\sin \frac{\pi}{4}}$$

Известно, что:

$$\cos \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}, \quad \sin \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$$

Подставим эти значения:

$$\operatorname{ctg} \frac{\pi}{4} = \frac{\frac{1}{\sqrt{2}}}{\frac{1}{\sqrt{2}}} = 1$$

Ответ: $1$.

б) $x = \frac{\pi}{3}$

Подставляем $x = \frac{\pi}{3}$ в выражение для котангенса:

$$\operatorname{ctg} \frac{\pi}{3} = \frac{\cos \frac{\pi}{3}}{\sin \frac{\pi}{3}}$$

Значения тригонометрических функций для угла $\frac{\pi}{3}$ следующие:

$$\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}, \quad \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Теперь подставляем эти значения:

$$\operatorname{ctg} \frac{\pi}{3} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$$

Ответ: $\frac{1}{\sqrt{3}}$.

в) $x = 2\pi$

Подставляем $x = 2\pi$ в выражение для котангенса:

$$\operatorname{ctg} 2\pi = \frac{\cos 2\pi}{\sin 2\pi}$$

Значения тригонометрических функций для угла $2\pi$ следующие:

$$\cos 2\pi = 1, \quad \sin 2\pi = 0$$

Получаем:

$$\operatorname{ctg} 2\pi = \frac{1}{0}$$

Деление на ноль невозможно, поэтому значение котангенса при $x = 2\pi$ не существует.

Ответ: не существует.

г) $x = \frac{\pi}{2}$

Подставляем $x = \frac{\pi}{2}$ в выражение для котангенса:

$$\operatorname{ctg} \frac{\pi}{2} = \frac{\cos \frac{\pi}{2}}{\sin \frac{\pi}{2}}$$

Значения тригонометрических функций для угла $\frac{\pi}{2}$ следующие:

$$\cos \frac{\pi}{2} = 0, \quad \sin \frac{\pi}{2} = 1$$

Подставляем эти значения:

$$\operatorname{ctg} \frac{\pi}{2} = \frac{0}{1} = 0$$

Ответ: 0.