ГДЗ 10-11 Класс Номер 14.5 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найти наименьшее и наибольшее значения функции $y = \operatorname{ctg} x$:

а) На отрезке $\left[\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{2}\right]$

Функция не имеет разрывов на промежутке.

$$y\left(\frac{\pi}{4}\right) = \operatorname{ctg} \frac{\pi}{4} = 1$$ $$y\left(\frac{\pi}{2}\right) = \operatorname{ctg} \frac{\pi}{2} = 0$$

Ответ: $y_{\text{наим}} = 0$; $y_{\text{наиб}} = 1$.

б) На полуинтервале $\left[\frac{\pi}{2}; \pi\right)$

Функция имеет разрыв в точке $x = \pi$.

$$y\left(\frac{\pi}{2}\right) = \operatorname{ctg} \frac{\pi}{2} = 0$$

Ответ: $y_{\text{наим}}$ — нет; $y_{\text{наиб}} = 0$.

в) На интервале $(-π; 0)$

Функция имеет разрывы в точках $x_1 = -\pi$ и $x_2 = 0$.

Ответ: $y_{\text{наим}}$ — нет; $y_{\text{наиб}}$ — нет.

г) На отрезке $\left[\frac{\pi}{6}; \frac{3\pi}{4}\right]$

Функция не имеет разрывов на промежутке.

$$y\left(\frac{\pi}{6}\right) = \operatorname{ctg} \frac{\pi}{6} = \sqrt{3}$$ $$y\left(\frac{3\pi}{4}\right) = \operatorname{ctg} \frac{3\pi}{4} = -\operatorname{ctg} \frac{\pi}{4} = -1$$

Ответ: $y_{\text{наим}} = -1$; $y_{\text{наиб}} = \sqrt{3}$.

Найти наименьшее и наибольшее значения функции $y = \operatorname{ctg} x$:

а) На отрезке $\left[\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{2}\right]$

Функция $y = \operatorname{ctg} x$ является непрерывной и монотонной на отрезке $\left[\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{2}\right]$, так как котангенс — это убывающая функция на интервале $(0; \pi)$.

Вычислим значение функции в границах отрезка:

• При $x = \frac{\pi}{4}$:

  $$y\left(\frac{\pi}{4}\right) = \operatorname{ctg} \frac{\pi}{4} = \frac{\cos \frac{\pi}{4}}{\sin \frac{\pi}{4}} = \frac{\frac{1}{\sqrt{2}}}{\frac{1}{\sqrt{2}}} = 1$$

• При $x = \frac{\pi}{2}$:

  $$y\left(\frac{\pi}{2}\right) = \operatorname{ctg} \frac{\pi}{2} = \frac{\cos \frac{\pi}{2}}{\sin \frac{\pi}{2}} = \frac{0}{1} = 0$$

Анализ поведения функции на отрезке:

Функция $\operatorname{ctg} x$ монотонно убывает на интервале $\left[\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{2}\right]$, потому что на этом интервале синус увеличивается, а косинус уменьшается.

Наибольшее и наименьшее значение:

• Наибольшее значение функции на отрезке — при $x = \frac{\pi}{4}$, где $y = 1$.
• Наименьшее значение функции на отрезке — при $x = \frac{\pi}{2}$, где $y = 0$.

Ответ: $y_{\text{наим}} = 0$; $y_{\text{наиб}} = 1$.

б) На полуинтервале $\left[\frac{\pi}{2}; \pi\right)$

Функция имеет разрыв в точке $x = \pi$:

На интервале $\left[\frac{\pi}{2}; \pi\right)$ функция не определена в точке $x = \pi$, так как $\sin \pi = 0$, а котангенс — это отношение $\frac{1}{\sin x}$. Следовательно, в точке $x = \pi$ функция имеет разрыв (она стремится к бесконечности).

Вычислим значение функции в границе интервала:

• При $x = \frac{\pi}{2}$:

  $$y\left(\frac{\pi}{2}\right) = \operatorname{ctg} \frac{\pi}{2} = \frac{\cos \frac{\pi}{2}}{\sin \frac{\pi}{2}} = \frac{0}{1} = 0$$

Анализ поведения функции на полуинтервале:

Функция монотонно убывает на интервале $\left(\frac{\pi}{2}; \pi\right)$, начиная от 0 и стремясь к $-\infty$ при приближении $x$ к $\pi$.

Наибольшее и наименьшее значение:

• Наибольшее значение функции на полуинтервале — при $x = \frac{\pi}{2}$, где $y = 0$.
• Наименьшее значение функции на полуинтервале — стремится к $-\infty$, так как в точке $x = \pi$ функция не существует.

Ответ: $y_{\text{наим}}$ — нет; $y_{\text{наиб}} = 0$.

в) На интервале $(-π; 0)$

Функция имеет разрывы в точках $x_1 = -\pi$ и $x_2 = 0$:

В точке $x = 0$ $\sin 0 = 0$, а котангенс не определен. Аналогично, в точке $x = -\pi$, $\sin (-\pi) = 0$, и котангенс также не существует.

Анализ поведения функции на интервале:

На интервале $(-\pi; 0)$ функция $\operatorname{ctg} x$ имеет разрывы в точках $x = -\pi$ и $x = 0$. Между этими точками функция стремится к бесконечности в обе стороны (в отрицательную и положительную).

Наибольшее и наименьшее значение:

• Наименьшее и наибольшее значение функции на интервале не существуют, так как функция стремится к бесконечности в обоих направлениях.

Ответ: $y_{\text{наим}}$ — нет; $y_{\text{наиб}}$ — нет.

г) На отрезке $\left[\frac{\pi}{6}; \frac{3\pi}{4}\right]$

Вычислим значение функции в границах отрезка:

• При $x = \frac{\pi}{6}$:

  $$y\left(\frac{\pi}{6}\right) = \operatorname{ctg} \frac{\pi}{6} = \frac{\cos \frac{\pi}{6}}{\sin \frac{\pi}{6}} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = \sqrt{3}$$

• При $x = \frac{3\pi}{4}$:

  $$y\left(\frac{3\pi}{4}\right) = \operatorname{ctg} \frac{3\pi}{4} = \frac{\cos \frac{3\pi}{4}}{\sin \frac{3\pi}{4}} = \frac{-\frac{1}{\sqrt{2}}}{\frac{1}{\sqrt{2}}} = -1$$

Анализ поведения функции на отрезке:

Функция $\operatorname{ctg} x$ монотонно убывает на интервале $\left[\frac{\pi}{6}; \frac{3\pi}{4}\right]$, так как синус увеличивается, а косинус уменьшается.

Наибольшее и наименьшее значение:

• Наибольшее значение функции на отрезке — при $x = \frac{\pi}{6}$, где $y = \sqrt{3}$.
• Наименьшее значение функции на отрезке — при $x = \frac{3\pi}{4}$, где $y = -1$.

Ответ: $y_{\text{наим}} = -1$; $y_{\text{наиб}} = \sqrt{3}$.