ГДЗ 10-11 Класс Номер 14.8 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Исследовать функцию на четность:

а) $f(x) = \operatorname{tg} x \cdot \sin^2 x$

Область определения функции:

$$x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$$

Область определения симметрична.

Проверка четности:

$$f(-x) = \operatorname{tg}(-x) \cdot \sin^2(-x)$$ $$f(-x) = -\operatorname{tg} x \cdot \sin^2 x = -f(x)$$

Ответ: нечетная.

б) $f(x) = \frac{\operatorname{tg}^2 x}{x^2 — 1}$

Область определения функции:

$$x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad x \neq \pm 1$$

Область определения симметрична.

Проверка четности:

$$f(-x) = \frac{\operatorname{tg}^2(-x)}{(-x)^2 — 1}$$ $$f(-x) = \frac{\operatorname{tg}^2 x}{x^2 — 1} = f(x)$$

Ответ: четная.

в) $f(x) = x^5 \cdot \operatorname{tg} x$

Область определения функции:

$$x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$$

Область определения симметрична.

Проверка четности:

$$f(-x) = (-x)^5 \cdot \operatorname{tg}(-x)$$ $$f(-x) = x^5 \cdot \operatorname{tg} x = f(x)$$

Ответ: четная.

г) $f(x) = x^2 + \sin x + \operatorname{tg} x$

Область определения функции:

$$x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$$

Область определения симметрична.

Проверка четности:

$$f(-x) = (-x)^2 + \sin(-x) + \operatorname{tg}(-x)$$ $$f(-x) = x^2 — \sin x — \operatorname{tg} x$$

Ответ: ни четная, ни нечетная.

а) $f(x) = \operatorname{tg} x \cdot \sin^2 x$

Область определения функции:

Функция $f(x) = \operatorname{tg} x \cdot \sin^2 x$ состоит из двух частей:

• $\operatorname{tg} x$ — тангенс, который не определен в точках, где $\cos x = 0$, то есть в точках $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n$ — целое число.
• $\sin^2 x$ — это квадрат синуса, который определен для всех значений $x$.

Следовательно, область определения функции $f(x)$ будет:

$$x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$$

Область определения симметрична:

Поскольку тангенс имеет период $\pi$, область определения функции симметрична относительно нуля, так как при изменении знака аргумента тангенс изменяет знак, а синус сохраняет его.

Проверка четности:

Теперь проверим, является ли функция четной. Для этого нужно вычислить $f(-x)$ и сравнить его с $f(x)$.

$$f(-x) = \operatorname{tg}(-x) \cdot \sin^2(-x)$$

• $\operatorname{tg}(-x) = -\operatorname{tg} x$, так как тангенс — нечетная функция.
• $\sin(-x) = -\sin x$, так как синус — нечетная функция, и следовательно, $\sin^2(-x) = \sin^2(x)$.

Подставим эти выражения в $f(-x)$:

$$f(-x) = -\operatorname{tg} x \cdot \sin^2 x = -f(x)$$

Это означает, что функция $f(x)$ является нечетной, так как выполняется условие $f(-x) = -f(x)$.

Ответ:
Функция $f(x) = \operatorname{tg} x \cdot \sin^2 x$ является нечетной.

б) $f(x) = \frac{\operatorname{tg}^2 x}{x^2 — 1}$

Область определения функции:

Рассмотрим составные части функции:

• $\operatorname{tg}^2 x$ — это квадрат тангенса, который не определен в точках, где $\cos x = 0$, то есть в точках $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n$ — целое число.
• $x^2 — 1 = (x — 1)(x + 1)$, что означает, что функция не определена в точках $x = 1$ и $x = -1$, так как в этих точках знаменатель становится равным нулю.

Таким образом, область определения функции будет:

$$x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad x \neq \pm 1$$

Область определения симметрична:

Мы видим, что область определения функции симметрична относительно нуля, так как функции $\operatorname{tg}^2 x$ и $x^2 — 1$ обе симметричны относительно $x = 0$. Период тангенса также составляет $\pi$, и знаменатель $x^2 — 1$ симметричен относительно нуля.

Проверка четности:

Рассмотрим $f(-x)$:

$$f(-x) = \frac{\operatorname{tg}^2(-x)}{(-x)^2 — 1}$$

• $\operatorname{tg}(-x) = -\operatorname{tg} x$, так как тангенс — нечетная функция.
• $\operatorname{tg}^2(-x) = \operatorname{tg}^2(x)$, так как квадрат не изменяет знак.
• $(-x)^2 = x^2$, так как возведение в степень дает положительный результат.

Подставим эти выражения:

$$f(-x) = \frac{\operatorname{tg}^2 x}{x^2 — 1} = f(x)$$

Это означает, что функция $f(x) = \frac{\operatorname{tg}^2 x}{x^2 — 1}$ является четной, так как выполняется условие $f(-x) = f(x)$.

Ответ:
Функция $f(x) = \frac{\operatorname{tg}^2 x}{x^2 — 1}$ является четной.

в) $f(x) = x^5 \cdot \operatorname{tg} x$

Область определения функции:

Рассмотрим составные части функции:

• $x^5$ — это обычная степень, которая определена для всех значений $x$.
• $\operatorname{tg} x$ — тангенс, который не определен в точках $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n$ — целое число.

Таким образом, область определения функции будет:

$$x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$$

Область определения симметрична:

Область определения функции симметрична относительно нуля, так как тангенс и $x^5$ оба симметричны относительно нуля.

Проверка четности:

Рассмотрим $f(-x)$:

$$f(-x) = (-x)^5 \cdot \operatorname{tg}(-x)$$

• $(-x)^5 = -x^5$, так как возведение в нечетную степень сохраняет знак.
• $\operatorname{tg}(-x) = -\operatorname{tg} x$, так как тангенс — нечетная функция.

Подставим эти выражения:

$$f(-x) = -x^5 \cdot (-\operatorname{tg} x) = x^5 \cdot \operatorname{tg} x = f(x)$$

Это означает, что функция $f(x) = x^5 \cdot \operatorname{tg} x$ является четной, так как выполняется условие $f(-x) = f(x)$.

Ответ:
Функция $f(x) = x^5 \cdot \operatorname{tg} x$ является четной.

г) $f(x) = x^2 + \sin x + \operatorname{tg} x$

Область определения функции:

Рассмотрим составные части функции:

• $x^2$ — это обычная степень, которая определена для всех значений $x$.
• $\sin x$ — это обычная тригонометрическая функция, которая определена для всех значений $x$.
• $\operatorname{tg} x$ — тангенс, который не определен в точках $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n$ — целое число.

Таким образом, область определения функции будет:

$$x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$$

Область определения симметрична:

Область определения функции симметрична относительно нуля, так как все части функции, кроме тангенса, симметричны относительно нуля, а тангенс имеет период $\pi$, что также обеспечивает симметричность.

Проверка четности:

Рассмотрим $f(-x)$:

$$f(-x) = (-x)^2 + \sin(-x) + \operatorname{tg}(-x)$$

• $(-x)^2 = x^2$, так как возведение в степень оставляет знак.
• $\sin(-x) = -\sin x$, так как синус — нечетная функция.
• $\operatorname{tg}(-x) = -\operatorname{tg} x$, так как тангенс — нечетная функция.

Подставим эти выражения:

$$f(-x) = x^2 — \sin x — \operatorname{tg} x$$

Это означает, что $f(-x) \neq f(x)$ и $f(-x) \neq -f(x)$.

Ответ:
Функция $f(x) = x^2 + \sin x + \operatorname{tg} x$ является ни четной, ни нечетной.

Итоговые ответы:

а) $f(x) = \operatorname{tg} x \cdot \sin^2 x$ — нечетная.

б) $f(x) = \frac{\operatorname{tg}^2 x}{x^2 — 1}$ — четная.

в) $f(x) = x^5 \cdot \operatorname{tg} x$ — четная.

г) $f(x) = x^2 + \sin x + \operatorname{tg} x$ — ни четная, ни нечетная.