ГДЗ 10-11 Класс Номер 15.11 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Доказать тождество:

$$\mathrm{tg}(\arccos 0,1+\arccos (-0,1)+x)=\mathrm{tg}x;$$

$$\tg(\arccos 0,1 + \arccos(-0,1) + x) = \tg x;$$ $$\mathrm{tg}(\arccos 0,1+\pi -\arccos 0,1+x)=\mathrm{tg}x;$$

$$\tg(\arccos 0,1 + \pi — \arccos 0,1 + x) = \tg x;$$ $$\tg(x + \pi) = \tg x;$$

Тождество доказано.

Дано тождество:

$$\tg(\arccos 0,1 + \arccos(-0,1) + x) = \tg x$$

Необходимо доказать это тождество. Начнем с разбиения на более простые части.

Шаг 1: Выражение $\arccos 0,1 + \arccos(-0,1)$

Изначальные выражения:

• $\arccos 0,1$ — это угол, косинус которого равен $0,1$.
• $\arccos(-0,1)$ — это угол, косинус которого равен $-0,1$.

Используем известные свойства арккосинуса:

• Мы знаем, что $\arccos z$ всегда лежит в интервале $[0, \pi]$.
• Для $\arccos 0,1$ и $\arccos(-0,1)$ мы можем вычислить эти значения численно, но на данном этапе достаточно понять, что они существуют, и они оба лежат в пределах интервала от $0$ до $\pi$.

Отметим, что $\arccos(-0,1) = \pi — \arccos(0,1)$:

• Это следует из того, что $\arccos(-z) = \pi — \arccos(z)$.
• Таким образом:

  $$\arccos(-0,1) = \pi — \arccos(0,1)$$

Теперь подставим в исходное выражение:

$$\arccos 0,1 + \arccos(-0,1) = \arccos 0,1 + \pi — \arccos 0,1$$

Упростим это:

$$\arccos 0,1 + \arccos(-0,1) = \pi$$

Шаг 2: Подстановка в исходное тождество

Теперь подставим полученное значение $\arccos 0,1 + \arccos(-0,1) = \pi$ в исходное выражение:

$$\tg(\arccos 0,1 + \arccos(-0,1) + x) = \tg x$$ $$\tg(\pi + x) = \tg x$$

Шаг 3: Используем свойство тангенса

Теперь применим одно из известных свойств тангенса:

• Свойство тангенса: $\tg(\alpha + \pi) = \tg \alpha$, так как тангенс функции с периодом $\pi$.

Таким образом:

$$\tg(\pi + x) = \tg x$$

Шаг 4: Завершающий шаг

Мы получили, что:

$$\tg(\pi + x) = \tg x$$

Что и требовалось доказать.

Ответ:

Тождество доказано:

$$\tg(\arccos 0,1 + \arccos(-0,1) + x) = \tg x$$