ГДЗ 10-11 Класс Номер 15.14 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найдите корни заданного уравнения на заданном промежутке:

а) $\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}, \, x \in [0; 2\pi]$;

б) $\cos x = -\frac{1}{2}, \, x \in [2\pi; 4\pi]$;

в) $\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}, \, x \in [-\pi; 3\pi]$;

г) $\cos x = -1, \, x \in \left[ -\frac{3\pi}{2}; 2\pi \right]$

Найти корни уравнения на заданном промежутке:

а) $\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}, \, x \in [0; 2\pi]$;

Решения уравнения:
$x = \pm \arccos \frac{\sqrt{3}}{2} + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n;$

Значения на данном отрезке:
$x_1 = \frac{\pi}{6} + 2\pi \cdot 0 = \frac{\pi}{6};$
$x_2 = -\frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{11\pi}{6};$

Ответ: $\frac{\pi}{6}; \frac{11\pi}{6}$.

б) $\cos x = -\frac{1}{2}, \, x \in [2\pi; 4\pi]$;

Решения уравнения:
$x = \pm \left( \pi — \arccos \frac{1}{2} \right) + 2\pi n = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n;$

Значения на данном отрезке:
$x_1 = \frac{2\pi}{3} + 2\pi = \frac{8\pi}{3};$
$x_2 = -\frac{2\pi}{3} + 4\pi = \frac{10\pi}{3};$

Ответ: $\frac{8\pi}{3}; \frac{10\pi}{3}$.

в) $\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}, \, x \in [-\pi; 3\pi]$;

Решения уравнения:
$x = \pm \arccos \frac{\sqrt{2}}{2} + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n;$

Значения на данном отрезке:
$x_1 = -\frac{\pi}{4} + 2\pi \cdot 0 = -\frac{\pi}{4};$
$x_2 = \frac{\pi}{4} + 2\pi \cdot 0 = \frac{\pi}{4};$
$x_3 = -\frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{7\pi}{4};$
$x_4 = \frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{9\pi}{4};$

Ответ: $\pm \frac{\pi}{4}; \frac{7\pi}{4}; \frac{9\pi}{4}$.

г) $\cos x = -1, \, x \in \left[ -\frac{3\pi}{2}; 2\pi \right]$;

Решения уравнения:
$x = \pi + 2\pi n;$

Значения на данном отрезке:
$x_1 = \pi — 2\pi = -\pi;$
$x_2 = \pi + 2\pi \cdot 0 = \pi;$

Ответ: $\pm \pi$.

а) $\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}, \, x \in [0; 2\pi]$

Шаг 1: Решение уравнения

Мы имеем уравнение $\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Задача — найти все значения $x$ на интервале $[0; 2\pi]$, для которых это уравнение выполняется.

Косинус принимает значение $\frac{\sqrt{3}}{2}$ для углов $x = \pm \arccos \frac{\sqrt{3}}{2} + 2\pi n$, где $n$ — целое число.

$\arccos \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{6}$, потому что $\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Таким образом, общие решения будут:

$$x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n$$

Шаг 2: Значения на интервале $[0; 2\pi]$

Для $n = 0$ находим:

$$x_1 = \frac{\pi}{6}$$

Для $n = 0$ также:

$$x_2 = -\frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{11\pi}{6}$$

Ответ:

На интервале $[0; 2\pi]$ значения $x$:

$$x_1 = \frac{\pi}{6}, \quad x_2 = \frac{11\pi}{6}$$

б) $\cos x = -\frac{1}{2}, \, x \in [2\pi; 4\pi]$

Шаг 1: Решение уравнения

Уравнение $\cos x = -\frac{1}{2}$ имеет решение для углов вида:

$$x = \pm \left( \pi — \arccos \frac{1}{2} \right) + 2\pi n$$

Мы знаем, что $\arccos \frac{1}{2} = \frac{\pi}{3}$, так как $\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$.

Подставляем в решение:

$$x = \pm \left( \pi — \frac{\pi}{3} \right) + 2\pi n = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$$

Шаг 2: Значения на интервале $[2\pi; 4\pi]$

Для $n = 1$ получаем:

$$x_1 = \frac{2\pi}{3} + 2\pi = \frac{8\pi}{3}$$

Для $n = 1$ также:

$$x_2 = -\frac{2\pi}{3} + 4\pi = \frac{10\pi}{3}$$

Ответ:

На интервале $[2\pi; 4\pi]$ значения $x$:

$$x_1 = \frac{8\pi}{3}, \quad x_2 = \frac{10\pi}{3}$$

в) $\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}, \, x \in [-\pi; 3\pi]$

Шаг 1: Решение уравнения

Уравнение $\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ имеет решение для углов вида:

$$x = \pm \arccos \frac{\sqrt{2}}{2} + 2\pi n$$

Мы знаем, что $\arccos \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\pi}{4}$, так как $\cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Подставляем в решение:

$$x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n$$

Шаг 2: Значения на интервале $[-\pi; 3\pi]$

Для $n = 0$ находим:

$$x_1 = -\frac{\pi}{4}$$ $$x_2 = \frac{\pi}{4}$$

Для $n = 1$:

$$x_3 = -\frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{7\pi}{4}$$ $$x_4 = \frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{9\pi}{4}$$

Ответ:

На интервале $[-\pi; 3\pi]$ значения $x$:

$$x_1 = -\frac{\pi}{4}, \quad x_2 = \frac{\pi}{4}, \quad x_3 = \frac{7\pi}{4}, \quad x_4 = \frac{9\pi}{4}$$

г) $\cos x = -1, \, x \in \left[ -\frac{3\pi}{2}; 2\pi \right]$

Шаг 1: Решение уравнения

Уравнение $\cos x = -1$ имеет решение для углов вида:

$$x = \pi + 2\pi n$$

Потому что $\cos \pi = -1$.

Шаг 2: Значения на интервале $\left[ -\frac{3\pi}{2}; 2\pi \right]$

Для $n = -1$ получаем:

$$x_1 = \pi — 2\pi = -\pi$$

Для $n = 0$ получаем:

$$x_2 = \pi$$

Ответ:

На интервале $\left[ -\frac{3\pi}{2}; 2\pi \right]$ значения $x$:

$$x_1 = -\pi, \quad x_2 = \pi$$

Итоговые ответы:

а) $\frac{\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}$

б) $\frac{8\pi}{3}, \frac{10\pi}{3}$

в) $-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}, \frac{9\pi}{4}$

г) $-\pi, \pi$