ГДЗ 10-11 Класс Номер 15.8 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Вычислить значение:

а) $\cos \left( 2 \arccos \frac{1}{2} — 3 \arccos 0 — \arccos \left( -\frac{1}{2} \right) \right) = \cos \left( 2 \cdot \frac{\pi}{3} — 3 \cdot \frac{\pi}{2} — \frac{2\pi}{3} \right) =$

$= \cos \left( -\frac{3\pi}{2} \right) = \cos \frac{3\pi}{2} = 0;$

Ответ: $0$.

б) $\frac{1}{3} \left( \arccos \frac{1}{3} + \arccos \left( -\frac{1}{3} \right) \right) = \frac{1}{3} \left( \arccos \frac{1}{3} + \pi — \arccos \frac{1}{3} \right) = \frac{1}{3} \cdot \pi = \frac{\pi}{3};$

Ответ: $\frac{\pi}{3}$.

а) $\cos \left( 2 \arccos \frac{1}{2} — 3 \arccos 0 — \arccos \left( -\frac{1}{2} \right) \right)$

Первая часть выражения — $2 \arccos \frac{1}{2}$:

• $\arccos \frac{1}{2}$ — это угол, косинус которого равен $\frac{1}{2}$.
• Известно, что $\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$, следовательно:

  $$\arccos \frac{1}{2} = \frac{\pi}{3}$$

• Тогда:

  $$2 \arccos \frac{1}{2} = 2 \cdot \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$$

Вторая часть выражения — $3 \arccos 0$:

• $\arccos 0$ — это угол, косинус которого равен 0. Известно, что $\cos \frac{\pi}{2} = 0$, значит:

  $$\arccos 0 = \frac{\pi}{2}$$

• Тогда:

  $$3 \arccos 0 = 3 \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{2}$$

Третья часть выражения — $\arccos \left( -\frac{1}{2} \right)$:

• $\arccos \left( -\frac{1}{2} \right)$ — это угол, косинус которого равен $-\frac{1}{2}$.
• Известно, что $\cos \frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2}$, значит:

  $$\arccos \left( -\frac{1}{2} \right) = \frac{2\pi}{3}$$

Теперь подставим все найденные значения в исходное выражение:

$$\cos \left( 2 \arccos \frac{1}{2} — 3 \arccos 0 — \arccos \left( -\frac{1}{2} \right) \right) = \cos \left( \frac{2\pi}{3} — \frac{3\pi}{2} — \frac{2\pi}{3} \right)$$

• Упростим выражение внутри косинуса:

  $$\frac{2\pi}{3} — \frac{3\pi}{2} — \frac{2\pi}{3} = 0 — \frac{3\pi}{2} = -\frac{3\pi}{2}$$

• Получаем:

  $$\cos \left( -\frac{3\pi}{2} \right)$$

Используем свойство косинуса — косинус является четной функцией, то есть:

$$\cos (-x) = \cos x$$

Следовательно:

$$\cos \left( -\frac{3\pi}{2} \right) = \cos \frac{3\pi}{2}$$

Теперь находим значение косинуса:

• Известно, что $\cos \frac{3\pi}{2} = 0$ (это значение косинуса для угла, который соответствует точке на оси $y$ на окружности).

Ответ для пункта а:

$$\boxed{0}$$

б) $\frac{1}{3} \left( \arccos \frac{1}{3} + \arccos \left( -\frac{1}{3} \right) \right)$

Первая часть выражения — $\arccos \frac{1}{3}$:

• Это угол, косинус которого равен $\frac{1}{3}$. Мы не можем найти его в виде простого угла, но обозначим его как $\theta$, то есть:

  $$\theta = \arccos \frac{1}{3}$$

Таким образом:

$$\cos \theta = \frac{1}{3}$$

Вторая часть выражения — $\arccos \left( -\frac{1}{3} \right)$:

• Это угол, косинус которого равен $-\frac{1}{3}$.
• Обозначим этот угол как $\varphi$, то есть:

  $$\varphi = \arccos \left( -\frac{1}{3} \right)$$

• Из свойств арккосинуса:

  $$\cos \varphi = -\frac{1}{3}$$

• Мы знаем, что $\arccos (-x) = \pi — \arccos x$, следовательно:

  $$\arccos \left( -\frac{1}{3} \right) = \pi — \arccos \frac{1}{3}$$

• Таким образом,:

  $$\varphi = \pi — \theta$$

Теперь подставим эти значения в выражение:

$$\frac{1}{3} \left( \arccos \frac{1}{3} + \arccos \left( -\frac{1}{3} \right) \right) = \frac{1}{3} \left( \theta + \pi — \theta \right)$$

• Упростим выражение:

  $$\frac{1}{3} \left( \pi \right) = \frac{\pi}{3}$$

Ответ для пункта б:

$$\boxed{\frac{\pi}{3}}$$

Итоговые ответы:

а) $0$

б) $\frac{\pi}{3}$