ГДЗ 10-11 Класс Номер 16.12 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найти корни уравнения на заданном промежутке:

а) $\sin x = \frac{1}{2}, \, x \in \left( \frac{1}{2}; \frac{11\pi}{4} \right);$

Решения уравнения:
$x = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{1}{2} + \pi n = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n;$

Значения на данном интервале:
$x_1 = \frac{\pi}{6} + \pi \cdot 0 = \frac{\pi}{6};$
$x_2 = -\frac{\pi}{6} + \pi = \frac{5\pi}{6};$
$x_3 = \frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{13\pi}{6};$

Ответ: $\frac{\pi}{6}; \frac{5\pi}{6}; \frac{13\pi}{6}.$

б) $\sin x = -\frac{1}{2}, \, x \in \left( -\frac{5\pi}{6}; 6 \right);$

Решения уравнения:
$x = (-1)^{n+1} \cdot \arcsin \frac{1}{2} + \pi n = (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n;$

Значения на данном интервале:
$x_1 = -\frac{\pi}{6} + \pi \cdot 0 = -\frac{\pi}{6};$
$x_2 = \frac{\pi}{6} + \pi = \frac{7\pi}{6};$
$x_3 = -\frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{11\pi}{6};$

Ответ: $-\frac{\pi}{6}; \frac{7\pi}{6}; \frac{11\pi}{6}.$

в) $\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}, \, x \in (-4; 3);$

Решения уравнения:
$x = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{\sqrt{2}}{2} + \pi n = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{4} + \pi n;$

Значения на данном интервале:
$x_1 = -\frac{\pi}{4} — \pi = -\frac{5\pi}{4};$
$x_2 = \frac{\pi}{4} + \pi \cdot 0 = \frac{\pi}{4};$
$x_3 = -\frac{\pi}{4} + \pi = \frac{3\pi}{4};$

Ответ: $-\frac{5\pi}{4}; \frac{\pi}{4}; \frac{3\pi}{4}.$

г) $\sin x = \frac{1}{2}, \, x \in (-3; 6);$

Решения уравнения:
$x = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{1}{2} + \pi n = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n;$

Значения на данном интервале:
$x_1 = \frac{\pi}{6} + \pi \cdot 0 = \frac{\pi}{6};$
$x_2 = -\frac{\pi}{6} + \pi = \frac{5\pi}{6};$

Ответ: $\frac{\pi}{6}; \frac{5\pi}{6}.$

а) $\sin x = \frac{1}{2}, \, x \in \left( \frac{1}{2}; \frac{11\pi}{4} \right)$

Понимание уравнения:

У нас есть уравнение $\sin x = \frac{1}{2}$, и нужно найти все значения $x$, для которых это уравнение выполняется на интервале $\left( \frac{1}{2}; \frac{11\pi}{4} \right)$.

Поиск основного решения:

Мы знаем, что $\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$. Следовательно, одно основное решение — это:

$$x_1 = \frac{\pi}{6}.$$

Все возможные решения:

Синус является периодической функцией с периодом $2\pi$, и она принимает значение $\frac{1}{2}$ в двух точках на каждом периоде:

• Первый угол: $\frac{\pi}{6}$,
• Второй угол: $\pi — \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.

Решения для углов с периодичностью $2\pi$:

$$x = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n,$$

где $n$ — целое число.

Значения на заданном интервале $\left( \frac{1}{2}; \frac{11\pi}{4} \right)$:

Теперь вычислим значения на интервале:

• Для $n = 0$: $x_1 = \frac{\pi}{6}$.
• Для $n = 1$: $x_2 = \frac{5\pi}{6}$.
• Для $n = 2$: $x_3 = \frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{13\pi}{6}$.

Эти значения лежат на интервале $\left( \frac{1}{2}; \frac{11\pi}{4} \right)$, так как $\frac{11\pi}{4} \approx 8.64$ и все эти значения меньше $\frac{11\pi}{4}$.

Ответ:

На интервале $\left( \frac{1}{2}; \frac{11\pi}{4} \right)$ корни уравнения:

$$x_1 = \frac{\pi}{6}, \quad x_2 = \frac{5\pi}{6}, \quad x_3 = \frac{13\pi}{6}.$$

Ответ: $\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}, \frac{13\pi}{6}$.

б) $\sin x = -\frac{1}{2}, \, x \in \left( -\frac{5\pi}{6}; 6 \right)$

Понимание уравнения:

Мы ищем значения $x$, при которых $\sin x = -\frac{1}{2}$, на интервале $\left( -\frac{5\pi}{6}; 6 \right)$.

Поиск основного решения:

Мы знаем, что $\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2}$. Следовательно, основное решение:

$$x_1 = -\frac{\pi}{6}.$$

Все возможные решения:

Синус — периодическая функция с периодом $2\pi$, и оно принимает значение $-\frac{1}{2}$ в двух точках на каждом периоде:

• Первое решение: $-\frac{\pi}{6}$,
• Второе решение: $\pi — \left( -\frac{\pi}{6} \right) = \frac{7\pi}{6}$.

Решения для всех значений $x$:

$$x = (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n,$$

где $n$ — целое число.

Значения на заданном интервале $\left( -\frac{5\pi}{6}; 6 \right)$:

• Для $n = 0$: $x_1 = -\frac{\pi}{6}$.
• Для $n = 1$: $x_2 = \frac{7\pi}{6}$.
• Для $n = 2$: $x_3 = -\frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{11\pi}{6}$.

Эти значения лежат на интервале $\left( -\frac{5\pi}{6}; 6 \right)$.

Ответ:

На интервале $\left( -\frac{5\pi}{6}; 6 \right)$ корни уравнения:

$$x_1 = -\frac{\pi}{6}, \quad x_2 = \frac{7\pi}{6}, \quad x_3 = \frac{11\pi}{6}.$$

Ответ: $-\frac{\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}$.

в) $\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}, \, x \in (-4; 3)$

Понимание уравнения:

Мы ищем все значения $x$, для которых $\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ на интервале $(-4; 3)$.

Поиск основного решения:

Мы знаем, что $\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Следовательно, основное решение:

$$x_1 = \frac{\pi}{4}.$$

Все возможные решения:

Синус — периодическая функция с периодом $2\pi$, и синус принимает значение $\frac{\sqrt{2}}{2}$ в двух точках:

• Первое решение: $\frac{\pi}{4}$,
• Второе решение: $\pi — \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.

Значения на заданном интервале $(-4; 3)$:

• Для $n = -1$: $x_1 = -\frac{5\pi}{4}$.
• Для $n = 0$: $x_2 = \frac{\pi}{4}$.
• Для $n = 1$: $x_3 = \frac{3\pi}{4}$.

Эти значения лежат на интервале $(-4; 3)$.

Ответ:

На интервале $(-4; 3)$ корни уравнения:

$$x_1 = -\frac{5\pi}{4}, \quad x_2 = \frac{\pi}{4}, \quad x_3 = \frac{3\pi}{4}.$$

Ответ: $-\frac{5\pi}{4}, \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}$.

г) $\sin x = \frac{1}{2}, \, x \in (-3; 6)$

Понимание уравнения:

Мы ищем все значения $x$, для которых $\sin x = \frac{1}{2}$ на интервале $(-3; 6)$.

Поиск основного решения:

Мы знаем, что $\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$. Следовательно, основное решение:

$$x_1 = \frac{\pi}{6}.$$

Все возможные решения:

Синус — периодическая функция с периодом $2\pi$, и она принимает значение $\frac{1}{2}$ в двух точках:

• Первое решение: $\frac{\pi}{6}$,
• Второе решение: $\pi — \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.

Значения на заданном интервале $(-3; 6)$:

• Для $n = 0$: $x_1 = \frac{\pi}{6}$.
• Для $n = 1$: $x_2 = \frac{5\pi}{6}$.

Эти значения лежат на интервале $(-3; 6)$.

Ответ:

На интервале $(-3; 6)$ корни уравнения:

$$x_1 = \frac{\pi}{6}, \quad x_2 = \frac{5\pi}{6}.$$

Ответ: $\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}$.

Итог:

а) $\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}, \frac{13\pi}{6}$

б) $-\frac{\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}$

в) $-\frac{5\pi}{4}, \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}$

г) $\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}$