ГДЗ 10-11 Класс Номер 16.19 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Решить неравенство:

а) $5 \sin^2 t > 11 \sin t + 12$

Пусть $y = \sin t$, тогда:

$$5y^2 — 11y — 12 > 0;$$

Дискриминант:

$$D = 11^2 + 5 \cdot 4 \cdot 12 = 121 + 240 = 361,$$

тогда:

$$y_1 = \frac{11 — 19}{2 \cdot 5} = \frac{-8}{10} = -0.8 \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{11 + 19}{2 \cdot 5} = \frac{30}{10} = 3;$$

Разложение на множители:

$$(y + 0.8)(y — 3) > 0;$$

Решение:

$$y < -0.8, \quad y > 3;$$

Первое значение:

$$\sin t < -0.8;$$ $$t = (-1)^{n+1} \cdot \arcsin 0.8 + \pi n;$$ $$t_1 = \arcsin 0.8 + \pi;$$ $$t_2 = -\arcsin 0.8 + 2\pi;$$ $$\pi + \arcsin 0.8 + 2\pi n < t < 2\pi — \arcsin 0.8 + 2\pi n;$$

Второе значение:

$$\sin t > 3;$$ $$t \in \varnothing;$$

Ответ:

$$\pi + \arcsin 0.8 + 2\pi n < t < 2\pi — \arcsin 0.8 + 2\pi n.$$

б) $5 \sin^2 t \leq 11 \sin t + 12$

Пусть $y = \sin t$, тогда:

$$5y^2 — 11y — 12 \leq 0;$$

Дискриминант:

$$D = 11^2 + 5 \cdot 4 \cdot 12 = 121 + 240 = 361,$$

тогда:

$$y_1 = \frac{11 — 19}{2 \cdot 5} = \frac{-8}{10} = -0.8 \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{11 + 19}{2 \cdot 5} = \frac{30}{10} = 3;$$

Разложение на множители:

$$(y + 0.8)(y — 3) \leq 0;$$

Решение:

$$-0.8 \leq y \leq 3;$$

Первое значение:

$$\sin t \geq -0.8;$$ $$t = (-1)^{n+1} \cdot \arcsin 0.8 + \pi n;$$ $$t_1 = -\arcsin 0.8 + \pi \cdot 0 = -\arcsin 0.8;$$ $$t_2 = \arcsin 0.8 + \pi;$$ $$-\arcsin 0.8 + 2\pi n \leq t \leq \pi + \arcsin 0.8 + 2\pi n;$$

Второе значение:

$$\sin t \leq 3;$$ $$x \in \mathbb{R};$$

Ответ:

$$-\arcsin 0.8 + 2\pi n \leq t \leq \pi + \arcsin 0.8 + 2\pi n.$$

а) $5 \sin^2 t > 11 \sin t + 12$

Шаг 1: Замена переменной.

Для упрощения, введем замену: $y = \sin t$, тогда неравенство преобразуется в:

$$5y^2 > 11y + 12.$$

Шаг 2: Перенос всех членов на одну сторону.

Переносим все члены на одну сторону, чтобы привести неравенство к стандартному виду:

$$5y^2 — 11y — 12 > 0.$$

Теперь у нас квадратное неравенство, которое можно решить с помощью дискриминанта.

Шаг 3: Вычисление дискриминанта.

Для квадратного уравнения $ay^2 + by + c = 0$, дискриминант $D$ вычисляется по формуле:

$$D = b^2 — 4ac.$$

Подставляем $a = 5$, $b = -11$, и $c = -12$:

$$D = (-11)^2 — 4 \cdot 5 \cdot (-12) = 121 + 240 = 361.$$

Шаг 4: Нахождение корней квадратного уравнения.

Теперь, зная дискриминант, находим корни квадратного уравнения. Корни находятся по формуле:

$$y_1 = \frac{-b — \sqrt{D}}{2a}, \quad y_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}.$$

Подставляем значения $a = 5$, $b = -11$, $D = 361$:

$$y_1 = \frac{-(-11) — \sqrt{361}}{2 \cdot 5} = \frac{11 — 19}{10} = \frac{-8}{10} = -0.8,$$ $$y_2 = \frac{-(-11) + \sqrt{361}}{2 \cdot 5} = \frac{11 + 19}{10} = \frac{30}{10} = 3.$$

Шаг 5: Разложение на множители.

Теперь разлагаем квадратное выражение $5y^2 — 11y — 12$ на множители. Мы уже знаем корни, поэтому разложение будет выглядеть так:

$$5y^2 — 11y — 12 = 5(y + 0.8)(y — 3).$$

Шаг 6: Решение неравенства.

Теперь решаем неравенство $5(y + 0.8)(y — 3) > 0$. Так как множитель 5 всегда положителен, мы можем рассматривать неравенство:

$$(y + 0.8)(y — 3) > 0.$$

Для того чтобы произведение двух выражений было больше нуля, оба выражения должны быть либо положительными, либо оба отрицательными. Рассмотрим интервалы:

• $y + 0.8 > 0$ при $y > -0.8$,
• $y — 3 > 0$ при $y > 3$,
• $y + 0.8 < 0$ при $y < -0.8$,
• $y — 3 < 0$ при $y < 3$.

Произведение будет положительным, если оба множителя имеют одинаковый знак, то есть если:

1. $y > 3$,
2. $y < -0.8$.

Шаг 7: Перевод в термины $t$.

Мы вернулись к переменной $y = \sin t$, и теперь нам нужно решить два неравенства:

1. $\sin t < -0.8$,
2. $\sin t > 3$ — это не имеет смысла, так как синус всегда принимает значения в интервале от -1 до 1, поэтому решение для этого неравенства пустое $t \in \varnothing$.

Для первого неравенства $\sin t < -0.8$, мы ищем значения $t$, для которых синус меньше -0.8.

Шаг 8: Решение $\sin t < -0.8$.

Известно, что $\sin t = -0.8$ имеет решение, которое можно найти с помощью арксинуса:

$$t = (-1)^{n+1} \cdot \arcsin 0.8 + \pi n.$$

Численно $\arcsin 0.8 \approx 0.9273$, поэтому:

$$t_1 = \arcsin 0.8 + \pi \approx 0.9273 + 3.1416 \approx 4.0689,$$ $$t_2 = -\arcsin 0.8 + 2\pi \approx -0.9273 + 6.2832 \approx 5.3559.$$

Таким образом, ответ для неравенства $\sin t < -0.8$:

$$\pi + \arcsin 0.8 + 2\pi n < t < 2\pi — \arcsin 0.8 + 2\pi n.$$

б) $5 \sin^2 t \leq 11 \sin t + 12$

Шаг 1: Замена переменной.

Как и в предыдущем случае, введем замену $y = \sin t$, и неравенство примет вид:

$$5y^2 \leq 11y + 12.$$

Шаг 2: Перенос всех членов на одну сторону.

Переносим все члены на одну сторону:

$$5y^2 — 11y — 12 \leq 0.$$

Это квадратное неравенство, которое нужно решить аналогично предыдущему примеру.

Шаг 3: Дискриминант и корни.

Дискриминант вычисляется так же, как и в предыдущем примере:

$$D = 361,$$ $$y_1 = -0.8, \quad y_2 = 3.$$

Шаг 4: Разложение на множители.

Разлагаем на множители:

$$5y^2 — 11y — 12 = 5(y + 0.8)(y — 3).$$

Шаг 5: Решение неравенства.

Решаем неравенство:

$$5(y + 0.8)(y — 3) \leq 0.$$

Так как множитель 5 всегда положителен, то решаем:

$$(y + 0.8)(y — 3) \leq 0.$$

Это неравенство выполняется, если $y$ лежит в промежутке между корнями:

$$-0.8 \leq y \leq 3.$$

Шаг 6: Перевод в термины $t$.

Теперь переводим это обратно в термины $t$, то есть решаем:

$$-0.8 \leq \sin t \leq 3.$$

Поскольку $\sin t \leq 3$ всегда выполняется, остается только решать:

$$\sin t \geq -0.8.$$

Для этого мы находим значения $t$, при которых синус равен -0.8:

$$t = (-1)^{n+1} \cdot \arcsin 0.8 + \pi n.$$

Численно $\arcsin 0.8 \approx 0.9273$, так что:

$$t_1 = -\arcsin 0.8 + \pi \cdot 0 = -0.9273,$$ $$t_2 = \arcsin 0.8 + \pi \approx 0.9273 + \pi \approx 4.0689.$$

Ответ для неравенства:

$$-\arcsin 0.8 + 2\pi n \leq t \leq \pi + \arcsin 0.8 + 2\pi n.$$