ГДЗ 10-11 Класс Номер 16.2 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Вычислить значение:

а) Пусть $\arcsin\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = t$, тогда:

$$\sin t = -\frac{\sqrt{3}}{2}, \quad -\frac{\pi}{2} \leq t \leq \frac{\pi}{2};$$

Ответ: $t = -\frac{\pi}{3}$.

б) Пусть $\arcsin\left(-\frac{1}{2}\right) = t$, тогда:

$$\sin t = -\frac{1}{2}, \quad -\frac{\pi}{2} \leq t \leq \frac{\pi}{2};$$

Ответ: $t = -\frac{\pi}{6}$.

в) Пусть $\arcsin(-1) = t$, тогда:

$$\sin t = -1, \quad -\frac{\pi}{2} \leq t \leq \frac{\pi}{2};$$

Ответ: $t = -\frac{\pi}{2}$.

г) Пусть $\arcsin\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = t$, тогда:

$$\sin t = -\frac{\sqrt{2}}{2}, \quad -\frac{\pi}{2} \leq t \leq \frac{\pi}{2};$$

Ответ: $t = -\frac{\pi}{4}$.

а) Пусть $\arcsin\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = t$, тогда:

$$\sin t = -\frac{\sqrt{3}}{2}, \quad -\frac{\pi}{2} \leq t \leq \frac{\pi}{2}.$$

Пошаговое решение:

Задано:

$$\arcsin\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = t$$

Это значит, что функция $\arcsin$ (обратная функция синуса) возвращает угол $t$, для которого:

$$\sin t = -\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Границы угла:
Обратите внимание, что $\arcsin x$ определен на интервале $-\frac{\pi}{2} \leq t \leq \frac{\pi}{2}$, то есть $t$ должен быть в этом интервале.

Что известно о значении $\sin t = -\frac{\sqrt{3}}{2}$:
Мы знаем, что $\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Однако у нас значение отрицательное, а значит, это будет угол в четверти, где синус отрицателен. На интервале $-\frac{\pi}{2} \leq t \leq \frac{\pi}{2}$ синус отрицателен только в третей четверти, которая соответствует углу $-\frac{\pi}{3}$.

Ответ:
Таким образом, $t = -\frac{\pi}{3}$.

б) Пусть $\arcsin\left(-\frac{1}{2}\right) = t$, тогда:

$$\sin t = -\frac{1}{2}, \quad -\frac{\pi}{2} \leq t \leq \frac{\pi}{2}.$$

Пошаговое решение:

Задано:

$$\arcsin\left(-\frac{1}{2}\right) = t$$

То есть $\sin t = -\frac{1}{2}$.

Границы угла:
Опять же, $t$ должен быть в интервале $-\frac{\pi}{2} \leq t \leq \frac{\pi}{2}$.

Что известно о значении $\sin t = -\frac{1}{2}$:
Мы знаем, что $\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$. Поскольку значение синуса у нас отрицательное, угол будет в той же четверти, где синус отрицателен, то есть в третей четверти. На интервале $-\frac{\pi}{2} \leq t \leq \frac{\pi}{2}$ это угол $-\frac{\pi}{6}$.

Ответ:
Таким образом, $t = -\frac{\pi}{6}$.

в) Пусть $\arcsin(-1) = t$, тогда:

$$\sin t = -1, \quad -\frac{\pi}{2} \leq t \leq \frac{\pi}{2}.$$

Пошаговое решение:

Задано:

$$\arcsin(-1) = t$$

То есть $\sin t = -1$.

Границы угла:
Мы снова имеем интервал $-\frac{\pi}{2} \leq t \leq \frac{\pi}{2}$.

Что известно о значении $\sin t = -1$:
Известно, что $\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) = -1$. На интервале $-\frac{\pi}{2} \leq t \leq \frac{\pi}{2}$ это единственное значение, где синус достигает $-1$.

Ответ:
Таким образом, $t = -\frac{\pi}{2}$.

г) Пусть $\arcsin\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = t$, тогда:

$$\sin t = -\frac{\sqrt{2}}{2}, \quad -\frac{\pi}{2} \leq t \leq \frac{\pi}{2}.$$

Пошаговое решение:

Задано:

$$\arcsin\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = t$$

То есть $\sin t = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Границы угла:
Угол $t$ должен быть в интервале $-\frac{\pi}{2} \leq t \leq \frac{\pi}{2}$.

Что известно о значении $\sin t = -\frac{\sqrt{2}}{2}$:
Мы знаем, что $\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Поскольку значение синуса отрицательное, угол должен быть в той же четверти, где синус отрицателен. На интервале $-\frac{\pi}{2} \leq t \leq \frac{\pi}{2}$ это угол $-\frac{\pi}{4}$.

Ответ:
Таким образом, $t = -\frac{\pi}{4}$.

Итак, окончательные ответы:

а) $t = -\frac{\pi}{3}$,

б) $t = -\frac{\pi}{6}$,

в) $t = -\frac{\pi}{2}$,

г) $t = -\frac{\pi}{4}$.