ГДЗ 10-11 Класс Номер 16.20 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Решить неравенство:

а) $6 \cos^2 t + \sin t > 4$;

$6 — 6 \sin^2 t + \sin t > 4$;

$6 \sin^2 t — \sin t — 2 < 0$;

Пусть $y = \sin t$, тогда:

$6y^2 — y — 2 < 0$;

$D = 1^2 + 4 \cdot 6 \cdot 2 = 1 + 48 = 49$, тогда:

$y_1 = \frac{1 — 7}{2 \cdot 6} = \frac{-6}{12} = -\frac{1}{2}$ и $y_2 = \frac{1 + 7}{2 \cdot 6} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$;

$\left( y + \frac{1}{2} \right) \left( y — \frac{2}{3} \right) < 0$;

$-\frac{1}{2} < y < \frac{2}{3}$;

Первое значение:

$\sin t > -\frac{1}{2}$;

$t = (-1)^{n+1} \cdot \arcsin \frac{1}{2} + \pi n = (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n$;

$-\frac{\pi}{6} + 2\pi n < t < \frac{7\pi}{6} + 2\pi n$;

Второе значение:

$\sin t < \frac{2}{3}$;

$t = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{2}{3} + \pi n$;

Ответ: $-\frac{\pi}{6} + 2\pi n < t < \arcsin \frac{2}{3} + 2\pi n$;

$\pi — \arcsin \frac{2}{3} + 2\pi n < t < \frac{7\pi}{6} + 2\pi n$.

б) $6 \cos^2 t + \sin t \leq 4$;

$6 — 6 \sin^2 t + \sin t \leq 4$;

$6 \sin^2 t — \sin t — 2 \geq 0$;

Пусть $y = \sin t$, тогда:

$6y^2 — y — 2 \geq 0$;

$D = 1^2 + 4 \cdot 6 \cdot 2 = 1 + 48 = 49$, тогда:

$y_1 = \frac{1 — 7}{2 \cdot 6} = \frac{-6}{12} = -\frac{1}{2}$ и $y_2 = \frac{1 + 7}{2 \cdot 6} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$;

$\left( y + \frac{1}{2} \right) \left( y — \frac{2}{3} \right) \geq 0$;

$y \leq -\frac{1}{2}, \, y \geq \frac{2}{3}$;

Первое значение:

$\sin t \leq -\frac{1}{2}$;

$t = (-1)^{n+1} \cdot \arcsin \frac{1}{2} + \pi n = (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n$;

$\frac{7\pi}{6} + 2\pi n \leq t \leq \frac{11\pi}{6} + 2\pi n$;

Второе значение:

$\sin t \geq \frac{2}{3}$;

$t = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{2}{3} + \pi n$;

$\arcsin \frac{2}{3} + 2\pi n \leq t \leq \pi — \arcsin \frac{2}{3} + 2\pi n$;

Ответ: $\frac{7\pi}{6} + 2\pi n \leq t \leq \frac{11\pi}{6} + 2\pi n$;

$\arcsin \frac{2}{3} + 2\pi n \leq t \leq \pi — \arcsin \frac{2}{3} + 2\pi n$.

а) $6 \cos^2 t + \sin t > 4$

Шаг 1: Преобразуем выражение.

Используем известное тождество $\cos^2 t = 1 — \sin^2 t$, чтобы выразить все через $\sin t$:

$$6 \cos^2 t + \sin t = 6(1 — \sin^2 t) + \sin t = 6 — 6 \sin^2 t + \sin t.$$

Подставляем это в исходное неравенство:

$$6 — 6 \sin^2 t + \sin t > 4.$$

Шаг 2: Переносим все члены на одну сторону.

Переносим 4 на левую сторону неравенства:

$$6 — 6 \sin^2 t + \sin t — 4 > 0,$$

что упрощается до:

$$6 \sin^2 t — \sin t — 2 < 0.$$

Шаг 3: Замена переменной.

Для удобства введем замену $y = \sin t$, и получаем следующее неравенство:

$$6y^2 — y — 2 < 0.$$

Шаг 4: Решение квадратного неравенства.

Чтобы решить неравенство, сначала найдем корни квадратного уравнения $6y^2 — y — 2 = 0$. Для этого вычислим дискриминант $D$:

$$D = b^2 — 4ac = (-1)^2 — 4 \cdot 6 \cdot (-2) = 1 + 48 = 49.$$

Теперь находим корни уравнения по формуле:

$$y_1 = \frac{-(-1) — \sqrt{49}}{2 \cdot 6} = \frac{1 — 7}{12} = \frac{-6}{12} = -\frac{1}{2},$$ $$y_2 = \frac{-(-1) + \sqrt{49}}{2 \cdot 6} = \frac{1 + 7}{12} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}.$$

Шаг 5: Разложение на множители.

Разлагаем квадратное выражение $6y^2 — y — 2$ на множители:

$$6y^2 — y — 2 = 6(y + \frac{1}{2})(y — \frac{2}{3}).$$

Шаг 6: Решение неравенства.

Теперь решаем неравенство:

$$6(y + \frac{1}{2})(y — \frac{2}{3}) < 0.$$

Так как коэффициент 6 положителен, неравенство можно упростить до:

$$(y + \frac{1}{2})(y — \frac{2}{3}) < 0.$$

Для этого неравенства рассмотрим знак произведения на интервалах, образуемых корнями $y_1 = -\frac{1}{2}$ и $y_2 = \frac{2}{3}$. Нужно найти, на каких интервалах произведение двух множителей отрицательно:

• $y + \frac{1}{2} > 0$ при $y > -\frac{1}{2}$,
• $y — \frac{2}{3} < 0$ при $y < \frac{2}{3}$,
• $y + \frac{1}{2} < 0$ при $y < -\frac{1}{2}$,
• $y — \frac{2}{3} > 0$ при $y > \frac{2}{3}$.

Произведение будет отрицательным, если один множитель положительный, а другой отрицательный, т.е. на интервале:

$$-\frac{1}{2} < y < \frac{2}{3}.$$

Шаг 7: Перевод в термины $t$.

Возвращаемся к переменной $y = \sin t$ и получаем два неравенства:

$$-\frac{1}{2} < \sin t < \frac{2}{3}.$$

Для каждого из этих неравенств нужно найти соответствующие значения $t$.

Шаг 8: Решение $\sin t > -\frac{1}{2}$.

Решаем неравенство $\sin t > -\frac{1}{2}$. Это неравенство выполняется для всех значений $t$, которые находятся вне интервала, где синус меньше $-\frac{1}{2}$. Сначала находим значения $t$, при которых $\sin t = -\frac{1}{2}$:

$$\sin t = -\frac{1}{2} \quad \Rightarrow \quad t = (-1)^{n+1} \cdot \arcsin \frac{1}{2} + \pi n = (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n.$$

Таким образом, решения будут:

$$-\frac{\pi}{6} + 2\pi n < t < \frac{7\pi}{6} + 2\pi n.$$

Шаг 9: Решение $\sin t < \frac{2}{3}$.

Решаем неравенство $\sin t < \frac{2}{3}$. Для этого находим $t$, при которых $\sin t = \frac{2}{3}$. Используем арксинус:

$$\sin t = \frac{2}{3} \quad \Rightarrow \quad t = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{2}{3} + \pi n.$$

Ответ:

$$-\frac{\pi}{6} + 2\pi n < t < \arcsin \frac{2}{3} + 2\pi n,$$ $$\pi — \arcsin \frac{2}{3} + 2\pi n < t < \frac{7\pi}{6} + 2\pi n.$$

б) $6 \cos^2 t + \sin t \leq 4$

Шаг 1: Преобразуем выражение.

Используем тождество $\cos^2 t = 1 — \sin^2 t$, и получаем:

$$6 \cos^2 t + \sin t = 6(1 — \sin^2 t) + \sin t = 6 — 6 \sin^2 t + \sin t.$$

Подставляем в неравенство:

$$6 — 6 \sin^2 t + \sin t \leq 4.$$

Шаг 2: Переносим все члены на одну сторону.

Переносим 4 на левую сторону:

$$6 — 6 \sin^2 t + \sin t — 4 \leq 0,$$

что упрощается до:

$$6 \sin^2 t — \sin t — 2 \geq 0.$$

Шаг 3: Замена переменной.

Вводим замену $y = \sin t$, и получаем следующее неравенство:

$$6y^2 — y — 2 \geq 0.$$

Шаг 4: Решение квадратного неравенства.

Решаем неравенство, используя тот же подход, что и в первом случае:

$$D = 49, \quad y_1 = -\frac{1}{2}, \quad y_2 = \frac{2}{3}.$$

Разлагаем на множители:

$$6y^2 — y — 2 = 6(y + \frac{1}{2})(y — \frac{2}{3}).$$

Шаг 5: Решение неравенства.

Решаем неравенство:

$$6(y + \frac{1}{2})(y — \frac{2}{3}) \geq 0.$$

Так как коэффициент 6 положителен, можно решить:

$$(y + \frac{1}{2})(y — \frac{2}{3}) \geq 0.$$

Произведение будет положительным или равным нулю, если оба множителя имеют одинаковый знак:

$$y \leq -\frac{1}{2}, \quad y \geq \frac{2}{3}.$$

Шаг 6: Перевод в термины $t$.

Теперь решаем два неравенства для $\sin t$:

1. $\sin t \leq -\frac{1}{2}$,
2. $\sin t \geq \frac{2}{3}$.

Шаг 7: Решение $\sin t \leq -\frac{1}{2}$.

Находим $t$, при которых $\sin t = -\frac{1}{2}$:

$$t = (-1)^{n+1} \cdot \arcsin \frac{1}{2} + \pi n = (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n.$$

Таким образом, для этого интервала:

$$\frac{7\pi}{6} + 2\pi n \leq t \leq \frac{11\pi}{6} + 2\pi n.$$

Шаг 8: Решение $\sin t \geq \frac{2}{3}$.

Находим $t$, при которых $\sin t = \frac{2}{3}$:

$$t = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{2}{3} + \pi n.$$

Ответ:

$$\arcsin \frac{2}{3} + 2\pi n \leq t \leq \pi — \arcsin \frac{2}{3} + 2\pi n.$$

Итоговый ответ:

а) $-\frac{\pi}{6} + 2\pi n < t < \arcsin \frac{2}{3} + 2\pi n$;

$$\pi — \arcsin \frac{2}{3} + 2\pi n < t < \frac{7\pi}{6} + 2\pi n.$$

б) $\frac{7\pi}{6} + 2\pi n \leq t \leq \frac{11\pi}{6} + 2\pi n$;

$$\arcsin \frac{2}{3} + 2\pi n \leq t \leq \pi — \arcsin \frac{2}{3} + 2\pi n.$$