ГДЗ 10-11 Класс Номер 16.3 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Вычислить значение:

а) $\arcsin 0 + \arccos 0 = 0 + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}$;
Ответ: $\frac{\pi}{2}$.

б) $\arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} + \arccos \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{2}$;
Ответ: $\frac{\pi}{2}$.

в) $\arcsin \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + \arccos \frac{1}{2} = -\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{12}$;
Ответ: $\frac{\pi}{12}$.

г) $\arcsin (-1) + \arccos \frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6} = -\frac{2\pi}{6} = -\frac{\pi}{3}$;
Ответ: $-\frac{\pi}{3}$.

а) $\arcsin 0 + \arccos 0 = 0 + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}$;
Ответ: $\frac{\pi}{2}$.

Пошаговое решение:

Что такое $\arcsin 0$?

$$\arcsin 0 = t \quad \text{где} \quad \sin t = 0, \quad \text{и} \quad -\frac{\pi}{2} \leq t \leq \frac{\pi}{2}.$$

Зная, что синус угла $t = 0$ равен нулю, получаем:

$$\arcsin 0 = 0.$$

Что такое $\arccos 0$?

$$\arccos 0 = t \quad \text{где} \quad \cos t = 0, \quad \text{и} \quad 0 \leq t \leq \pi.$$

Зная, что косинус угла $t = \frac{\pi}{2}$ равен нулю, получаем:

$$\arccos 0 = \frac{\pi}{2}.$$

Сложение:
Теперь складываем найденные значения:

$$\arcsin 0 + \arccos 0 = 0 + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}.$$

Ответ:

$$\frac{\pi}{2}.$$

б) $\arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} + \arccos \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{2}$;
Ответ: $\frac{\pi}{2}$.

Пошаговое решение:

Что такое $\arcsin \frac{\sqrt{3}}{2}$?

$$\arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} = t \quad \text{где} \quad \sin t = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad -\frac{\pi}{2} \leq t \leq \frac{\pi}{2}.$$

Известно, что $\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, следовательно:

$$\arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{3}.$$

Что такое $\arccos \frac{\sqrt{3}}{2}$?

$$\arccos \frac{\sqrt{3}}{2} = t \quad \text{где} \quad \cos t = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad 0 \leq t \leq \pi.$$

Известно, что $\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, следовательно:

$$\arccos \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{6}.$$

Сложение:
Теперь складываем найденные значения:

$$\arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} + \arccos \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi}{6} + \frac{\pi}{6} = \frac{4\pi}{6} = \frac{\pi}{2}.$$

Ответ:

$$\frac{\pi}{2}.$$

в) $\arcsin \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + \arccos \frac{1}{2} = -\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{12}$;
Ответ: $\frac{\pi}{12}$.

Пошаговое решение:

Что такое $\arcsin \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$?

$$\arcsin \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = t \quad \text{где} \quad \sin t = -\frac{\sqrt{2}}{2}, \quad -\frac{\pi}{2} \leq t \leq \frac{\pi}{2}.$$

Известно, что $\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, и так как значение синуса отрицательное, угол будет в третей четверти. На интервале $-\frac{\pi}{2} \leq t \leq \frac{\pi}{2}$ это угол $-\frac{\pi}{4}$. Таким образом:

$$\arcsin \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -\frac{\pi}{4}.$$

Что такое $\arccos \frac{1}{2}$?

$$\arccos \frac{1}{2} = t \quad \text{где} \quad \cos t = \frac{1}{2}, \quad 0 \leq t \leq \pi.$$

Известно, что $\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$, следовательно:

$$\arccos \frac{1}{2} = \frac{\pi}{3}.$$

Сложение:
Теперь складываем найденные значения:

$$\arcsin \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + \arccos \frac{1}{2} = -\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{3}.$$

Чтобы сложить эти дроби, приводим их к общему знаменателю:

$$-\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{3} = \frac{-3\pi}{12} + \frac{4\pi}{12} = \frac{\pi}{12}.$$

Ответ:

$$\frac{\pi}{12}.$$

г) $\arcsin (-1) + \arccos \frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6} = -\frac{2\pi}{6} = -\frac{\pi}{3}$;
Ответ: $-\frac{\pi}{3}$.

Пошаговое решение:

Что такое $\arcsin (-1)$?

$$\arcsin (-1) = t \quad \text{где} \quad \sin t = -1, \quad -\frac{\pi}{2} \leq t \leq \frac{\pi}{2}.$$

Известно, что $\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) = -1$, следовательно:

$$\arcsin (-1) = -\frac{\pi}{2}.$$

Что такое $\arccos \frac{\sqrt{3}}{2}$?

$$\arccos \frac{\sqrt{3}}{2} = t \quad \text{где} \quad \cos t = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad 0 \leq t \leq \pi.$$

Известно, что $\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, следовательно:

$$\arccos \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{6}.$$

Сложение:
Теперь складываем найденные значения:

$$\arcsin (-1) + \arccos \frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6}.$$

Чтобы сложить эти дроби, приводим их к общему знаменателю:

$$-\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6} = \frac{-3\pi}{6} + \frac{\pi}{6} = \frac{-2\pi}{6} = -\frac{\pi}{3}.$$

Ответ:

$$-\frac{\pi}{3}.$$

Итак, окончательные ответы:

а) $\frac{\pi}{2}$,

б) $\frac{\pi}{2}$,

в) $\frac{\pi}{12}$,

г) $-\frac{\pi}{3}$.