ГДЗ 10-11 Класс Номер 16.4 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Вычислить значение:

а) $\arccos\left(-\frac{1}{2}\right) + \arcsin\left(-\frac{1}{2}\right) = \pi — \arccos\frac{1}{2} — \arcsin\frac{1}{2} =$

$= \pi — \frac{\pi}{3} — \frac{\pi}{6} = \frac{6\pi}{6} — \frac{2\pi}{6} — \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{2};$

Ответ: $\frac{\pi}{2}$.

б) $\arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) — \arcsin(-1) = \pi — \arccos\frac{\sqrt{2}}{2} + \arcsin 1 =$

$= \pi — \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2} = \frac{4\pi}{4} — \frac{\pi}{4} + \frac{2\pi}{4} = \frac{5\pi}{4};$

Ответ: $\frac{5\pi}{4}$.

в) $\arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \arcsin\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \pi — \arccos\frac{\sqrt{3}}{2} — \arcsin\frac{\sqrt{3}}{2} =$

$= \pi — \frac{\pi}{6} — \frac{\pi}{3} = \frac{6\pi}{6} — \frac{\pi}{6} — \frac{2\pi}{6} = \frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{2};$

Ответ: $\frac{\pi}{2}$.

г) $\arccos\frac{\sqrt{2}}{2} — \arcsin\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\pi}{4} — \left(-\frac{\pi}{3}\right) = \frac{3\pi}{12} + \frac{4\pi}{12} = \frac{7\pi}{12};$

Ответ: $\frac{7\pi}{12}$.

а) $\arccos\left(-\frac{1}{2}\right) + \arcsin\left(-\frac{1}{2}\right) = \pi — \arccos\frac{1}{2} — \arcsin\frac{1}{2} =$

$= \pi — \frac{\pi}{3} — \frac{\pi}{6} = \frac{6\pi}{6} — \frac{2\pi}{6} — \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{2};$

Ответ: $\frac{\pi}{2}$.

Пошаговое решение:

Что такое $\arccos\left(-\frac{1}{2}\right)$?

$$\arccos\left(-\frac{1}{2}\right) = t, \quad \cos t = -\frac{1}{2}, \quad 0 \leq t \leq \pi.$$

Известно, что $\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2}$, следовательно:

$$\arccos\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{2\pi}{3}.$$

Что такое $\arcsin\left(-\frac{1}{2}\right)$?

$$\arcsin\left(-\frac{1}{2}\right) = t, \quad \sin t = -\frac{1}{2}, \quad -\frac{\pi}{2} \leq t \leq \frac{\pi}{2}.$$

Известно, что $\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2}$, следовательно:

$$\arcsin\left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{\pi}{6}.$$

Сложение:
Теперь вычисляем:

$$\arccos\left(-\frac{1}{2}\right) + \arcsin\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{2\pi}{3} + \left(-\frac{\pi}{6}\right).$$

Приводим дроби к общему знаменателю:

$$\frac{2\pi}{3} = \frac{4\pi}{6}, \quad \left(-\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{\pi}{6},$$

Сложение:

$$\frac{4\pi}{6} — \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{2}.$$

Ответ: $$$\frac{\pi}{2}$.

б) $\arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) — \arcsin(-1) = \pi — \arccos\frac{\sqrt{2}}{2} + \arcsin 1 =$

$= \pi — \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2} = \frac{4\pi}{4} — \frac{\pi}{4} + \frac{2\pi}{4} = \frac{5\pi}{4};$

Ответ: $\frac{5\pi}{4}$.

Пошаговое решение:

Что такое $\arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$?

$$\arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = t, \quad \cos t = -\frac{\sqrt{2}}{2}, \quad 0 \leq t \leq \pi.$$

Известно, что $\cos\left(\frac{3\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, следовательно:

$$\arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{3\pi}{4}.$$

Что такое $\arcsin(-1)$?

$$\arcsin(-1) = t, \quad \sin t = -1, \quad -\frac{\pi}{2} \leq t \leq \frac{\pi}{2}.$$

Известно, что $\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) = -1$, следовательно:

$$\arcsin(-1) = -\frac{\pi}{2}.$$

Вычитание:
Теперь вычисляем:

$$\arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) — \arcsin(-1) = \frac{3\pi}{4} — \left(-\frac{\pi}{2}\right).$$

Приводим дроби к общему знаменателю:

$$\frac{3\pi}{4} = \frac{6\pi}{8}, \quad -\frac{\pi}{2} = -\frac{4\pi}{8},$$

Сложение:

$$\frac{6\pi}{8} + \frac{4\pi}{8} = \frac{10\pi}{8} = \frac{5\pi}{4}.$$

Ответ: $\frac{\mathrm{}}{}$$\frac{5\pi}{4}$.

в) $\arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \arcsin\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \pi — \arccos\frac{\sqrt{3}}{2} — \arcsin\frac{\sqrt{3}}{2} =$

$= \pi — \frac{\pi}{6} — \frac{\pi}{3} = \frac{6\pi}{6} — \frac{\pi}{6} — \frac{2\pi}{6} = \frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{2};$

Ответ: $\frac{\pi}{2}$.

Пошаговое решение:

Что такое $\arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$?

$$\arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = t, \quad \cos t = -\frac{\sqrt{3}}{2}, \quad 0 \leq t \leq \pi.$$

Известно, что $\cos\left(\frac{5\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, следовательно:

$$\arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{5\pi}{6}.$$

Что такое $\arcsin\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$?

$$\arcsin\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = t, \quad \sin t = -\frac{\sqrt{3}}{2}, \quad -\frac{\pi}{2} \leq t \leq \frac{\pi}{2}.$$

Известно, что $\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, следовательно:

$$\arcsin\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\frac{\pi}{3}.$$

Вычитание:
Теперь вычисляем:

$$\arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \arcsin\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{5\pi}{6} + \left(-\frac{\pi}{3}\right).$$

Приводим дроби к общему знаменателю:

$$\frac{5\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}, \quad -\frac{\pi}{3} = -\frac{2\pi}{6},$$

Сложение:

$$\frac{5\pi}{6} — \frac{2\pi}{6} = \frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{2}.$$

Ответ: $$$\frac{\pi}{2}$.

г) $\arccos\frac{\sqrt{2}}{2} — \arcsin\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\pi}{4} — \left(-\frac{\pi}{3}\right) = \frac{3\pi}{12} + \frac{4\pi}{12} = \frac{7\pi}{12};$

Ответ: $\frac{7\pi}{12}$.

Пошаговое решение:

Что такое $\arccos\frac{\sqrt{2}}{2}$?

$$\arccos\frac{\sqrt{2}}{2} = t, \quad \cos t = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad 0 \leq t \leq \pi.$$

Известно, что $\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, следовательно:

$$\arccos\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\pi}{4}.$$

Что такое $\arcsin\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$?

$$\arcsin\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = t, \quad \sin t = -\frac{\sqrt{3}}{2}, \quad -\frac{\pi}{2} \leq t \leq \frac{\pi}{2}.$$

Известно, что $\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, следовательно:

$$\arcsin\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\frac{\pi}{3}.$$

Вычитание:
Теперь вычисляем:

$$\arccos\frac{\sqrt{2}}{2} — \arcsin\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\pi}{4} — \left(-\frac{\pi}{3}\right).$$

Приводим дроби к общему знаменателю:

$$\frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{12}, \quad -\left(-\frac{\pi}{3}\right) = \frac{4\pi}{12},$$

Сложение:

$$\frac{3\pi}{12} + \frac{4\pi}{12} = \frac{7\pi}{12}.$$

Ответ: $\frac{\mathrm{}}{}$$\frac{7\pi}{12}$.

Итак, окончательные ответы:

а) $\frac{\pi}{2}$,

б) $\frac{5\pi}{4}$,

в) $\frac{\pi}{2}$,

г) $\frac{7\pi}{12}$.