ГДЗ 10-11 Класс Номер 17.15 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Вычислить значение:

а) $\sin\left(\arctg \frac{3}{4}\right) = \sin t$;

Число $t$ лежит в I или IV четверти:

$$-\frac{\pi}{2} < t < \frac{\pi}{2};$$ $$\cos t > 0;$$

Значение косинуса:

$$\cos\left(\arctg \frac{3}{4}\right) = +\sqrt{\frac{1}{1 + \tg^2\left(\arctg \frac{3}{4}\right)}};$$ $$\cos t = \sqrt{\frac{1}{1 + \left(\frac{3}{4}\right)^2}} = \sqrt{\frac{1}{\frac{16}{16} + \frac{9}{16}}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5};$$

Значение синуса:

$$\sin\left(\arctg \frac{3}{4}\right) = \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{5} = \frac{3}{5};$$

Ответ: $\frac{3}{5}$.

б) $\cos\left(\arcctg \frac{12}{5}\right) = \cos t$;

Число $t$ лежит в I или II четверти:

$$0 < t < \pi;$$ $$\sin t > 0;$$

Значение синуса:

$$\sin\left(\arcctg \frac{12}{5}\right) = +\sqrt{\frac{1}{1 + \ctg^2\left(\arcctg \frac{12}{5}\right)}};$$ $$\sin t = \sqrt{\frac{1}{1 + \left(\frac{12}{5}\right)^2}} = \sqrt{\frac{1}{\frac{25}{25} + \frac{144}{25}}} = \sqrt{\frac{25}{169}} = \frac{5}{13};$$

Значение косинуса:

$$\cos\left(\arcctg \frac{12}{5}\right) = \frac{12}{5} \cdot \frac{5}{13} = \frac{12}{13};$$

Ответ: $\frac{12}{13}$.

в) $\sin\left(\arcctg \left(-\frac{4}{3}\right)\right) = \sin t$;

Число $t$ лежит в I или II четверти:

$$0 < t < \pi;$$ $$\sin t > 0;$$

Значение синуса:

$$\sin\left(\arcctg \left(-\frac{4}{3}\right)\right) = +\sqrt{\frac{1}{1 + \ctg^2\left(\arcctg \left(-\frac{4}{3}\right)\right)}};$$ $$\sin t = \sqrt{\frac{1}{1 + \left(-\frac{4}{3}\right)^2}} = \sqrt{\frac{1}{\frac{9}{9} + \frac{16}{9}}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5};$$

Ответ: $\frac{3}{5}$.

г) $\cos\left(\arctg \left(-\frac{5}{12}\right)\right) = \cos t$;

Число $t$ лежит в I или IV четверти:

$$-\frac{\pi}{2} < t < \frac{\pi}{2};$$ $$\cos t > 0;$$

Значение косинуса:

$$\cos\left(\arctg \left(-\frac{5}{12}\right)\right) = +\sqrt{\frac{1}{1 + \tg^2\left(\arctg \left(-\frac{5}{12}\right)\right)}};$$ $$\cos t = \sqrt{\frac{1}{1 + \left(-\frac{5}{12}\right)^2}} = \sqrt{\frac{1}{\frac{144}{144} + \frac{25}{144}}} = \sqrt{\frac{144}{169}} = \frac{12}{13};$$

Ответ: $\frac{12}{13}$.

а) $\sin\left(\arctg \frac{3}{4}\right) = \sin t$;

Шаг 1. Разбор выражения.

У нас имеется выражение:

$$y = \sin\left(\arctg \frac{3}{4}\right)$$

Сначала обозначим угол $t = \arctg \frac{3}{4}$. Это означает, что тангенс угла $t$ равен $\frac{3}{4}$, то есть:

$$\tg t = \frac{3}{4}$$

Нам нужно найти значение синуса этого угла.

Шаг 2. Используем тригонометрическую тождество.

Чтобы найти синус угла, зная его тангенс, воспользуемся основным тригонометрическим тождеством:

$$\sin^2 t + \cos^2 t = 1$$

Мы знаем $\tg t = \frac{3}{4}$, то есть:

$$\frac{\sin t}{\cos t} = \frac{3}{4}$$

Теперь можем представить $\sin t$ через $\cos t$:

$$\sin t = \frac{3}{4} \cdot \cos t$$

Подставим это в тождество:

$$\left(\frac{3}{4} \cdot \cos t \right)^2 + \cos^2 t = 1$$

Раскроем скобки:

$$\frac{9}{16} \cos^2 t + \cos^2 t = 1$$

Приводим к общему знаменателю:

$$\frac{9}{16} \cos^2 t + \frac{16}{16} \cos^2 t = 1$$ $$\frac{25}{16} \cos^2 t = 1$$

Умножим обе стороны на 16:

$$25 \cos^2 t = 16$$

Теперь решим относительно $\cos^2 t$:

$$\cos^2 t = \frac{16}{25}$$

Из этого находим:

$$\cos t = \frac{4}{5}$$

(так как угол $t$ лежит в первой или четвертой четверти, $\cos t$ положителен).

Шаг 3. Найдем синус угла.

Теперь, зная $\cos t = \frac{4}{5}$, можем найти синус угла:

$$\sin t = \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{5} = \frac{3}{5}$$

Ответ:

$$\sin\left(\arctg \frac{3}{4}\right) = \frac{3}{5}$$

б) $\cos\left(\arcctg \frac{12}{5}\right) = \cos t$;

Шаг 1. Разбор выражения.

У нас имеется выражение:

$$y = \cos\left(\arcctg \frac{12}{5}\right)$$

Обозначим угол $t = \arcctg \frac{12}{5}$. Это означает, что котангенс угла $t$ равен $\frac{12}{5}$, то есть:

$$\ctg t = \frac{12}{5}$$

Нам нужно найти значение косинуса этого угла.

Шаг 2. Используем тригонометрическое тождество.

Мы знаем, что:

$$\ctg t = \frac{\cos t}{\sin t} = \frac{12}{5}$$

Это означает, что:

$$\cos t = \frac{12}{5} \cdot \sin t$$

Теперь применим тригонометрическое тождество $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$, чтобы найти синус угла. Для этого выразим $\sin t$ через $\cos t$:

$$\sin t = \frac{5}{12} \cdot \cos t$$

Подставим это в тождество:

$$\left( \frac{5}{12} \cdot \cos t \right)^2 + \cos^2 t = 1$$

Раскроем скобки:

$$\frac{25}{144} \cos^2 t + \cos^2 t = 1$$

Приводим к общему знаменателю:

$$\frac{25}{144} \cos^2 t + \frac{144}{144} \cos^2 t = 1$$ $$\frac{169}{144} \cos^2 t = 1$$

Умножим обе стороны на 144:

$$169 \cos^2 t = 144$$

Теперь решим относительно $\cos^2 t$:

$$\cos^2 t = \frac{144}{169}$$

Из этого находим:

$$\cos t = \frac{12}{13}$$

Ответ:

$$\cos\left(\arcctg \frac{12}{5}\right) = \frac{12}{13}$$

в) $\sin\left(\arcctg \left(-\frac{4}{3}\right)\right) = \sin t$;

Шаг 1. Разбор выражения.

У нас имеется выражение:

$$y = \sin\left(\arcctg \left(-\frac{4}{3}\right)\right)$$

Обозначим угол $t = \arcctg \left(-\frac{4}{3}\right)$. Это означает, что котангенс угла $t$ равен $-\frac{4}{3}$, то есть:

$$\ctg t = -\frac{4}{3}$$

Нам нужно найти значение синуса этого угла.

Шаг 2. Используем тригонометрическое тождество.

Как и в предыдущем примере, мы используем тождество $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$. Сначала найдем синус и косинус через котангенс. Из соотношения $\ctg t = \frac{\cos t}{\sin t} = -\frac{4}{3}$ имеем:

$$\cos t = -\frac{4}{3} \cdot \sin t$$

Теперь подставим это в тождество:

$$\left( -\frac{4}{3} \cdot \sin t \right)^2 + \sin^2 t = 1$$

Раскроем скобки:

$$\frac{16}{9} \sin^2 t + \sin^2 t = 1$$

Приводим к общему знаменателю:

$$\frac{16}{9} \sin^2 t + \frac{9}{9} \sin^2 t = 1$$ $$\frac{25}{9} \sin^2 t = 1$$

Умножим обе стороны на 9:

$$25 \sin^2 t = 9$$

Теперь решим относительно $\sin^2 t$:

$$\sin^2 t = \frac{9}{25}$$

Из этого находим:

$$\sin t = \frac{3}{5}$$

Ответ:

$$\sin\left(\arcctg \left(-\frac{4}{3}\right)\right) = \frac{3}{5}$$

г) $\cos\left(\arctg \left(-\frac{5}{12}\right)\right) = \cos t$;

Шаг 1. Разбор выражения.

У нас имеется выражение:

$$y = \cos\left(\arctg \left(-\frac{5}{12}\right)\right)$$

Обозначим угол $t = \arctg \left(-\frac{5}{12}\right)$. Это означает, что тангенс угла $t$ равен $-\frac{5}{12}$, то есть:

$$\tg t = -\frac{5}{12}$$

Нам нужно найти значение косинуса этого угла.

Шаг 2. Используем тригонометрическое тождество.

Чтобы найти косинус угла, зная его тангенс, воспользуемся основным тригонометрическим тождеством:

$$\sin^2 t + \cos^2 t = 1$$

Мы знаем $\tg t = -\frac{5}{12}$, то есть:

$$\frac{\sin t}{\cos t} = -\frac{5}{12}$$

Теперь можем представить $\sin t$ через $\cos t$:

$$\sin t = -\frac{5}{12} \cdot \cos t$$

Подставим это в тождество:

$$\left( -\frac{5}{12} \cdot \cos t \right)^2 + \cos^2 t = 1$$

Раскроем скобки:

$$\frac{25}{144} \cos^2 t + \cos^2 t = 1$$

Приводим к общему знаменателю:

$$\frac{25}{144} \cos^2 t + \frac{144}{144} \cos^2 t = 1$$ $$\frac{169}{144} \cos^2 t = 1$$

Умножим обе стороны на 144:

$$169 \cos^2 t = 144$$

Теперь решим относительно $\cos^2 t$:

$$\cos^2 t = \frac{144}{169}$$

Из этого находим:

$$\cos t = \frac{12}{13}$$

Ответ:

$$\cos\left(\arctg \left(-\frac{5}{12}\right)\right) = \frac{12}{13}$$