ГДЗ 10-11 Класс Номер 17.7 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Вычислить значение:

а) $\operatorname{tg}(\operatorname{arcctg} 1) = \operatorname{tg}\frac{\pi}{4} = 1$;

Ответ: 1.

б) $\sin(\operatorname{arcctg} \sqrt{3}) = \sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$;

Ответ: $\frac{1}{2}$.

в) $\cos(\operatorname{arcctg}(-1)) = \cos(\pi — \operatorname{arcctg} 1) =$

$= \cos\left(\pi — \frac{\pi}{4}\right) = -\cos\frac{\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$;

Ответ: $-\frac{\sqrt{2}}{2}$.

г) $\operatorname{ctg}\left(2 \operatorname{arcctg}\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)\right) = \operatorname{ctg} 2\left(\pi — \operatorname{arcctg}\frac{1}{\sqrt{3}}\right) =$

$= \operatorname{ctg} 2\left(\pi — \frac{\pi}{3}\right) = \operatorname{ctg} \frac{4\pi}{3} = \operatorname{ctg}\left(\pi + \frac{\pi}{3}\right) = \operatorname{ctg} \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{3}$;

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{3}$.

а) $\operatorname{tg}(\operatorname{arcctg} 1) = \operatorname{tg}\frac{\pi}{4} = 1$

Определение арккотангенса:
$\operatorname{arcctg} x$ — это угол $\alpha$, такой что $\operatorname{ctg} \alpha = x$ и $0 < \alpha < \pi$. Таким образом, $\operatorname{arcctg} 1$ — это угол, для которого котангенс равен 1.

Находим угол:
Котангенс равен 1 в случае, когда угол $\alpha = \frac{\pi}{4}$, так как:

$$\operatorname{ctg} \frac{\pi}{4} = 1$$

Таким образом, $\operatorname{arcctg} 1 = \frac{\pi}{4}$.

Вычисляем тангенс:
Теперь нам нужно вычислить $\operatorname{tg}(\operatorname{arcctg} 1)$. Мы знаем, что:

$$\operatorname{arcctg} 1 = \frac{\pi}{4}$$

Тогда:

$$\operatorname{tg}(\operatorname{arcctg} 1) = \operatorname{tg} \frac{\pi}{4}$$

Тангенс угла $\frac{\pi}{4}$ равен 1, потому что:

$$\operatorname{tg} \frac{\pi}{4} = 1$$

Ответ: $1$.

б) $\sin(\operatorname{arcctg} \sqrt{3}) = \sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$

Определение арккотангенса:
$\operatorname{arcctg} x$ — это угол $\alpha$, для которого $\operatorname{ctg} \alpha = x$ и $0 < \alpha < \pi$. Мы ищем $\operatorname{arcctg} \sqrt{3}$, то есть угол $\alpha$, для которого $\operatorname{ctg} \alpha = \sqrt{3}$.

Находим угол:
Котангенс равен $\sqrt{3}$ для угла $\alpha = \frac{\pi}{6}$, так как:

$$\operatorname{ctg} \frac{\pi}{6} = \frac{1}{\tan \frac{\pi}{6}} = \frac{1}{\frac{1}{\sqrt{3}}} = \sqrt{3}$$

Таким образом, $\operatorname{arcctg} \sqrt{3} = \frac{\pi}{6}$.

Вычисляем синус:
Теперь нам нужно вычислить $\sin(\operatorname{arcctg} \sqrt{3})$. Мы знаем, что:

$$\operatorname{arcctg} \sqrt{3} = \frac{\pi}{6}$$

Таким образом:

$$\sin(\operatorname{arcctg} \sqrt{3}) = \sin \frac{\pi}{6}$$

Синус угла $\frac{\pi}{6}$ равен $\frac{1}{2}$, потому что:

$$\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$$

Ответ: $\frac{1}{2}$.

в) $\cos(\operatorname{arcctg}(-1)) = \cos(\pi — \operatorname{arcctg} 1) =$

Определение арккотангенса:
$\operatorname{arcctg}(-1)$ — это угол $\alpha$, для которого $\operatorname{ctg} \alpha = -1$ и $0 < \alpha < \pi$. Котангенс равен $-1$ для угла $\alpha = \frac{3\pi}{4}$, так как:

$$\operatorname{ctg} \frac{3\pi}{4} = -1$$

Таким образом, $\operatorname{arcctg}(-1) = \frac{3\pi}{4}$.

Используем тригонометрическое тождество:
Теперь нам нужно вычислить $\cos(\operatorname{arcctg}(-1))$. Мы знаем, что:

$$\operatorname{arcctg}(-1) = \frac{3\pi}{4}$$

Поэтому:

$$\cos(\operatorname{arcctg}(-1)) = \cos \frac{3\pi}{4}$$

Вычисляем косинус:
Косинус угла $\frac{3\pi}{4}$ равен $-\frac{\sqrt{2}}{2}$, так как:

$$\cos \frac{3\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$

Ответ: $-\frac{\sqrt{2}}{2}$.

г) $\operatorname{ctg}\left(2 \operatorname{arcctg}\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)\right) = \operatorname{ctg} 2\left(\pi — \operatorname{arcctg}\frac{1}{\sqrt{3}}\right) =$

Определение арккотангенса:
$\operatorname{arcctg}\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$ — это угол $\alpha$, для которого $\operatorname{ctg} \alpha = -\frac{1}{\sqrt{3}}$. Мы знаем, что $\operatorname{ctg} \frac{\pi}{6} = \sqrt{3}$, поэтому:

$$\operatorname{ctg}\left(\pi — \frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{\sqrt{3}}$$

Таким образом:

$$\operatorname{arcctg}\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \pi — \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$$

Удваиваем угол:
Теперь вычисляем $2 \times \operatorname{arcctg}\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$. Мы знаем, что:

$$2 \times \operatorname{arcctg}\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = 2 \times \frac{5\pi}{6} = \frac{5\pi}{3}$$

Вычисляем котангенс:
Теперь нам нужно вычислить $\operatorname{ctg} \frac{5\pi}{3}$. Обратите внимание, что:

$$\frac{5\pi}{3} = 2\pi — \frac{\pi}{3}$$

Так как $\operatorname{ctg}(\theta + 2\pi) = \operatorname{ctg}(\theta)$, то:

$$\operatorname{ctg} \frac{5\pi}{3} = \operatorname{ctg} \left( -\frac{\pi}{3} \right)$$

А котангенс угла $-\frac{\pi}{3}$ равен $\frac{\sqrt{3}}{3}$, так как:

$$\operatorname{ctg} \left( -\frac{\pi}{3} \right) = -\operatorname{ctg} \frac{\pi}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$$

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Ответ на каждый пункт:

а) 1

б) $\frac{1}{2}$

в) $-\frac{\sqrt{2}}{2}$

г) $\frac{\sqrt{3}}{3}$