ГДЗ 10-11 Класс Номер 18.10 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) $\sin x + \sqrt{3} \cos x = 0 \quad | : \cos x ;$

б) $\sin x + \cos x = 0 \quad | : \cos x ;$

в) $\sin x — 3 \cos x = 0 \quad | : \cos x ;$

г) $\sqrt{3}\sin x+\cos x=0$

Решить уравнение:

а) $\sin x + \sqrt{3} \cos x = 0 \quad | : \cos x ;$
$\tg x + \sqrt{3} = 0;$
$\tg x = -\sqrt{3};$
$x = -\arctg \sqrt{3} + \pi n = -\frac{\pi}{3} + \pi n;$
Ответ: $-\frac{\pi}{3} + \pi n$.

б) $\sin x + \cos x = 0 \quad | : \cos x ;$
$\tg x + 1 = 0;$
$\tg x = -1;$
$x = -\arctg 1 + \pi n = -\frac{\pi}{4} + \pi n;$
Ответ: $-\frac{\pi}{4} + \pi n$.

в) $\sin x — 3 \cos x = 0 \quad | : \cos x ;$
$\tg x — 3 = 0;$
$\tg x = 3;$
$x = \arctg 3 + \pi n;$
Ответ: $\arctg 3 + \pi n$.

г) $\sqrt{3} \sin x + \cos x = 0 \quad | : \cos x ;$
$\sqrt{3} \tg x + 1 = 0;$
$\sqrt{3} \tg x = -1;$
$\tg x = -\frac{1}{\sqrt{3}};$
$x = \arctg \left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) + \pi n = -\frac{\pi}{6} + \pi n;$
Ответ: $-\frac{\pi}{6} + \pi n$.

а)

Решим уравнение:

$$\sin x + \sqrt{3} \cos x = 0$$

Шаг 1: Разделим обе части уравнения на $\cos x$

Это можно сделать, если $\cos x \ne 0$. В случае $\cos x = 0$, $\cos x = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, но для этих значений $\sin x \ne 0$, подставляя в исходное уравнение — оно не выполнится. Значит, $\cos x \ne 0$.

$$\frac{\sin x}{\cos x} + \sqrt{3} = 0$$

Шаг 2: Используем определение тангенса

$$\tan x + \sqrt{3} = 0 \Rightarrow \tan x = -\sqrt{3}$$

Шаг 3: Найдём общее решение уравнения $\tan x = -\sqrt{3}$

$$x = \arctan(-\sqrt{3}) + \pi n$$

Шаг 4: Знаем, что $\arctan(-\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}$

Поскольку:

$$\tan\left(-\frac{\pi}{3}\right) = -\sqrt{3}$$

Ответ:

$$x = -\frac{\pi}{3} + \pi n$$

б)

Решим уравнение:

$$\sin x + \cos x = 0$$

Шаг 1: Разделим обе части на $\cos x$

$$\frac{\sin x}{\cos x} + 1 = 0 \Rightarrow \tan x + 1 = 0 \Rightarrow \tan x = -1$$

Шаг 2: Найдём общее решение уравнения $\tan x = -1$

$$x = \arctan(-1) + \pi n$$

Шаг 3: $\arctan(-1) = -\frac{\pi}{4}$

$$\tan\left(-\frac{\pi}{4}\right) = -1$$

Ответ:

$$x = -\frac{\pi}{4} + \pi n$$

в)

Решим уравнение:

$$\sin x — 3 \cos x = 0$$

Шаг 1: Разделим обе части на $\cos x$

$$\frac{\sin x}{\cos x} — 3 = 0 \Rightarrow \tan x — 3 = 0 \Rightarrow \tan x = 3$$

Шаг 2: Найдём общее решение $\tan x = 3$

$$x = \arctan 3 + \pi n$$

Оставляем $\arctan 3$ как есть, т.к. оно не является табличным значением.

Ответ:

$$x = \arctan 3 + \pi n$$

г)

Решим уравнение:

$$\sqrt{3} \sin x + \cos x = 0$$

Шаг 1: Разделим обе части на $\cos x$

$$\frac{\sqrt{3}\sin x}{\cos x}+1=0\Rightarrow \sqrt{3}\tan x+1=0\Rightarrow \sqrt{3}\tan x=-1\Rightarrow$$

$$\frac{\sqrt{3} \sin x}{\cos x} + 1 = 0 \Rightarrow \sqrt{3} \tan x + 1 = 0 \Rightarrow \sqrt{3} \tan x = -1 \Rightarrow \tan x = -\frac{1}{\sqrt{3}}$$

Шаг 2: Найдём общее решение

$$x = \arctan\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) + \pi n$$

Шаг 3: Знаем, что $\arctan\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = -\frac{\pi}{6}$

Поскольку:

$$\tan\left(-\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{\sqrt{3}}$$

Ответ:

$$x = -\frac{\pi}{6} + \pi n$$

Итоговые ответы:

а) $x = -\dfrac{\pi}{3} + \pi n$

б) $x = -\dfrac{\pi}{4} + \pi n$

в) $x = \arctan 3 + \pi n$

г) $x = -\dfrac{\pi}{6} + \pi n$