ГДЗ 10-11 Класс Номер 18.11 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Решить уравнение:

а) ${\sin }^{2}x+\sin x\cdot \cos x=0\mathrm{\mid }:{\sin }^{2}x$;
$1+\mathrm{ctg}x=0$;
$\mathrm{ctg}x=-1$;
$\mathrm{tg}x=-1$;
$x=-\mathrm{arctg}1+\pi n=-\frac{\pi }{4}+\pi n$;

Одно из решений:
$\sin x=0$;
$x=\pi n$;

Ответ: $-\frac{\pi }{4}+\pi n;\pi n$.

б) $\sqrt{3}\sin x\cdot \cos x+{\cos }^{2}x=0\mathrm{\mid }:{\cos }^{2}x$;
$\sqrt{3}\mathrm{tg}x+1=0$;
$\sqrt{3}\mathrm{tg}x=-1$;
$\mathrm{tg}x=-\frac{1}{\sqrt{3}}$;
$x=-\mathrm{arctg}\frac{1}{\sqrt{3}}+\pi n=-\frac{\pi }{6}+\pi n$;

Одно из решений:
$\cos x=0$;
$x=\frac{\pi }{2}+\pi n$;

Ответ: $-\frac{\pi }{6}+\pi n;\frac{\pi }{2}+\pi n$.

в) ${\sin }^{2}x=3\sin x\cdot \cos x\mathrm{\mid }:{\sin }^{2}x$;
$1=3\mathrm{ctg}x$;
$\mathrm{ctg}x=\frac{1}{3}$;
$\mathrm{tg}x=3$;
$x=\mathrm{arctg}3+\pi n$;

Одно из решений:
$\sin x=0$;
$x=\pi n$;

Ответ: $\mathrm{arctg}3+\pi n;\pi n$.

г) $\sqrt{3}{\cos }^{2}x=\sin x\cdot \cos x\mathrm{\mid }:{\cos }^{2}x$;
$\sqrt{3}=\mathrm{tg}x$;
$x=\mathrm{arctg}\sqrt{3}+\pi n=\frac{\pi }{3}+\pi n$;

Одно из решений:
$\cos x=0$;
$x=\frac{\pi }{2}+\pi n$;

Ответ: $\frac{\pi }{3}+\pi n;\frac{\pi }{2}+\pi n$.

а)

Уравнение:

$${\sin }^{2}x+\sin x\cdot \cos x=0$$

Шаг 1: Вынесем $\sin x$ за скобку

Это стандартный приём при решении подобных уравнений.

$$\sin x(\sin x+\cos x)=0$$

Шаг 2: Проанализируем произведение

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

Случай 1:

$$\sin x=0\Rightarrow x=\pi n,n\in \mathbb{Z}$$

Случай 2:

$$\sin x+\cos x=0\Rightarrow \sin x=-\cos x\Rightarrow \tan x=\frac{\sin x}{\cos x}=-1\Rightarrow$$

$$x=\arctan (-1)+\pi n=-\frac{\pi }{4}+\pi n$$

Ответ:

$$x=-\frac{\pi }{4}+\pi n;x=\pi n$$

б)

Уравнение:

$$\sqrt{3}\sin x\cdot \cos x+{\cos }^{2}x=0$$

Шаг 1: Разделим обе части на ${\cos }^{2}x$

Это можно сделать, если $\cos x\mathrm{\ne }0$. Мы позже отдельно рассмотрим случай $\cos x=0$.

$$\frac{\sqrt{3}\sin x\cos x}{{\cos }^{2}x}+\frac{{\cos }^{2}x}{{\cos }^{2}x}=0\Rightarrow \sqrt{3}\cdot \tan x+1=0\Rightarrow$$

$$\sqrt{3}\tan x=-1\Rightarrow \tan x=-\frac{1}{\sqrt{3}}$$$$x=\arctan (-\frac{1}{\sqrt{3}})+\pi n=-\frac{\pi }{6}+\pi n$$

Шаг 2: Дополнительный случай — $\cos x=0$

Проверим этот случай отдельно. При $\cos x=0$, первое слагаемое становится нулем, второе — ${\cos }^{2}x=0$, значит, уравнение становится:

$$0+0=0\Rightarrow \text{уравнение выполняется}$$$$\cos x=0\Rightarrow x=\frac{\pi }{2}+\pi n$$

Ответ:

$$x=-\frac{\pi }{6}+\pi n;x=\frac{\pi }{2}+\pi n$$

в)

Уравнение:

$${\sin }^{2}x=3\sin x\cdot \cos x$$

Шаг 1: Переносим всё в одну часть

$${\sin }^{2}x-3\sin x\cos x=0\Rightarrow \sin x(\sin x-3\cos x)=0$$

Шаг 2: Проанализируем каждую часть

Случай 1:

$$\sin x=0\Rightarrow x=\pi n$$

Случай 2:

$$\sin x-3\cos x=0\Rightarrow \sin x=3\cos x\Rightarrow \tan x=3\Rightarrow x=\arctan 3+\pi n$$

Ответ:

$$x=\arctan 3+\pi n;x=\pi n$$

г)

Уравнение:

$$\sqrt{3}{\cos }^{2}x=\sin x\cdot \cos x$$

Шаг 1: Разделим обе части на ${\cos }^{2}x$

$$\sqrt{3}=\frac{\sin x\cdot \cos x}{{\cos }^{2}x}=\sin x\mathrm{/}\cos x=\tan x\Rightarrow \tan x=\sqrt{3}\Rightarrow$$

$$x=\arctan \sqrt{3}+\pi n=\frac{\pi }{3}+\pi n$$

Шаг 2: Рассмотрим случай $\cos x=0$

Если $\cos x=0$, то левая часть уравнения:

$$\sqrt{3}{\cos }^{2}x=0$$

Правая часть:

$$\sin x\cdot \cos x=0$$

Значит:

$$0=0\Rightarrow \text{уравнение выполняется}\Rightarrow \cos x=0\Rightarrow x=\frac{\pi }{2}+\pi n$$

Ответ:

$$x=\frac{\pi }{3}+\pi n;x=\frac{\pi }{2}+\pi n$$

Итоговые ответы:

а) $x=-{\displaystyle \frac{\pi }{4}}+\pi n;x=\pi n$
б) $x=-{\displaystyle \frac{\pi }{6}}+\pi n;x={\displaystyle \frac{\pi }{2}}+\pi n$
в) $x=\arctan 3+\pi n;x=\pi n$
г) $x={\displaystyle \frac{\pi }{3}}+\pi n;x={\displaystyle \frac{\pi }{2}}+\pi n$