ГДЗ 10-11 Класс Номер 18.12 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Решить уравнение:

а)

$$\sin^2 x + 2 \sin x \cdot \cos x — 3 \cos^2 x = 0 \quad \bigg| : \cos^2 x$$ $$\tg^2 x + 2 \tg x — 3 = 0$$

Пусть $y = \tg x$, тогда:

$$y^2 + 2y — 3 = 0$$ $$D = 2^2 + 4 \cdot 3 = 4 + 12 = 16$$ $$y_1 = \frac{-2 — 4}{2} = -3,\quad y_2 = \frac{-2 + 4}{2} = 1$$

Первое значение:

$$\tg x = -3,\quad x = -\arctg 3 + \pi n$$

Второе значение:

$$\tg x = 1,\quad x = \arctg 1 + \pi n = \frac{\pi}{4} + \pi n$$

Ответ:

$$-\arctg 3 + \pi n;\quad \frac{\pi}{4} + \pi n$$

б)

$$\sin^2 x — 4 \sin x \cdot \cos x + 3 \cos^2 x = 0 \quad \bigg| : \cos^2 x$$ $$\tg^2 x — 4 \tg x + 3 = 0$$

Пусть $y = \tg x$, тогда:

$$y^2 — 4y + 3 = 0$$ $$D = 4^2 — 4 \cdot 3 = 16 — 12 = 4$$ $$y_1 = \frac{4 — 2}{2} = 1,\quad y_2 = \frac{4 + 2}{2} = 3$$

Первое значение:

$$\tg x = 1,\quad x = \arctg 1 + \pi n = \frac{\pi}{4} + \pi n$$

Второе значение:

$$\tg x = 3,\quad x = \arctg 3 + \pi n$$

Ответ:

$$\frac{\pi}{4} + \pi n;\quad \arctg 3 + \pi n$$

в)

$$\sin^2 x + \sin x \cdot \cos x — 2 \cos^2 x = 0 \quad \bigg| : \cos^2 x$$ $$\tg^2 x + \tg x — 2 = 0$$

Пусть $y = \tg x$, тогда:

$$y^2 + y — 2 = 0$$ $$D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9$$ $$y_1 = \frac{-1 — 3}{2} = -2,\quad y_2 = \frac{-1 + 3}{2} = 1$$

Первое значение:

$$\tg x = -2,\quad x = -\arctg 2 + \pi n$$

Второе значение:

$$\tg x = 1,\quad x = \arctg 1 + \pi n = \frac{\pi}{4} + \pi n$$

Ответ:

$$-\arctg 2 + \pi n;\quad \frac{\pi}{4} + \pi n$$

г)

$$3 \sin^2 x + \sin x \cdot \cos x — 2 \cos^2 x = 0 \quad \bigg| : \cos^2 x$$ $$3 \tg^2 x + \tg x — 2 = 0$$

Пусть $y = \tg x$, тогда:

$$3y^2 + y — 2 = 0$$ $$D = 1^2 + 4 \cdot 3 \cdot 2 = 1 + 24 = 25$$ $$y_1 = \frac{-1 — 5}{6} = -1,\quad y_2 = \frac{-1 + 5}{6} = \frac{2}{3}$$

Первое значение:

$$\tg x = -1,\quad x = -\arctg 1 + \pi n = -\frac{\pi}{4} + \pi n$$

Второе значение:

$$\tg x = \frac{2}{3},\quad x = \arctg \frac{2}{3} + \pi n$$

Ответ:

$$-\frac{\pi}{4} + \pi n;\quad \arctg \frac{2}{3} + \pi n$$

а)

$$\sin^2 x + 2 \sin x \cdot \cos x — 3 \cos^2 x = 0$$

Цель: выразить уравнение через одну функцию.

Поскольку у нас есть и $\sin x$, и $\cos x$, попробуем выразить всё через $\tg x$, используя:

$$\tg x = \frac{\sin x}{\cos x}, \quad \text{и} \quad \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} = \tg^2 x$$

Шаг 1: Разделим всё уравнение на $\cos^2 x$

Почему: чтобы убрать все синусы и оставить только тангенсы.

$$\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} + \frac{2 \sin x \cos x}{\cos^2 x} — \frac{3 \cos^2 x}{\cos^2 x} = 0$$

Шаг 2: Упростим каждую дробь

• $\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} = \tg^2 x$
• $\frac{2 \sin x \cos x}{\cos^2 x} = 2 \cdot \frac{\sin x}{\cos x} = 2 \tg x$
• $\frac{3 \cos^2 x}{\cos^2 x} = 3$

Получаем уравнение:

$$\tg^2 x + 2 \tg x — 3 = 0$$

Шаг 3: Заменим $\tg x = y$

(Чтобы решать как обычное квадратное уравнение)

$$y^2 + 2y — 3 = 0$$

Шаг 4: Решим квадратное уравнение

Дискриминант:

$$D = b^2 — 4ac = 2^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$$

Корни:

$$y_1 = \frac{-2 — \sqrt{16}}{2} = \frac{-2 — 4}{2} = \frac{-6}{2} = -3$$ $$y_2 = \frac{-2 + \sqrt{16}}{2} = \frac{-2 + 4}{2} = \frac{2}{2} = 1$$

Шаг 5: Возвращаемся к переменной $x$

1. $y = \tg x = -3$

Общее решение:

$$x = \arctg(-3) + \pi n = -\arctg 3 + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

2. $y = \tg x = 1$

$$x = \arctg 1 + \pi n = \frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Ответ:

$$x = -\arctg 3 + \pi n \quad \text{и} \quad x = \frac{\pi}{4} + \pi n,\quad n \in \mathbb{Z}$$

б)

$$\sin^2 x — 4 \sin x \cdot \cos x + 3 \cos^2 x = 0$$

Шаг 1: Делим всё на $\cos^2 x$

$$\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} — \frac{4 \sin x \cos x}{\cos^2 x} + \frac{3 \cos^2 x}{\cos^2 x} = 0$$

Шаг 2: Преобразуем:

• $\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} = \tg^2 x$
• $\frac{4 \sin x \cos x}{\cos^2 x} = 4 \tg x$
• $\frac{3 \cos^2 x}{\cos^2 x} = 3$

Получаем:

$$\tg^2 x — 4 \tg x + 3 = 0$$

Шаг 3: Заменим $y = \tg x$:

$$y^2 — 4y + 3 = 0$$

Шаг 4: Решаем:

$$D = (-4)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 — 12 = 4$$ $$y_1 = \frac{4 — \sqrt{4}}{2} = \frac{4 — 2}{2} = 1$$ $$y_2 = \frac{4 + \sqrt{4}}{2} = \frac{4 + 2}{2} = 3$$

Шаг 5: Возвращаемся к $x$

1. $\tg x = 1$

$$x = \arctg 1 + \pi n = \frac{\pi}{4} + \pi n$$

2. $\tg x = 3$

$$x = \arctg 3 + \pi n$$

Ответ:

$$x = \frac{\pi}{4} + \pi n,\quad \arctg 3 + \pi n,\quad n \in \mathbb{Z}$$

в)

$$\sin^2 x + \sin x \cos x — 2 \cos^2 x = 0$$

Шаг 1: Делим на $\cos^2 x$:

$$\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} + \frac{\sin x \cos x}{\cos^2 x} — \frac{2 \cos^2 x}{\cos^2 x} = 0$$

Шаг 2: Упрощаем:

• $\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} = \tg^2 x$
• $\frac{\sin x \cos x}{\cos^2 x} = \tg x$
• $\frac{2 \cos^2 x}{\cos^2 x} = 2$

Получаем:

$$\tg^2 x + \tg x — 2 = 0$$

Шаг 3: Заменим $y = \tg x$:

$$y^2 + y — 2 = 0$$

Шаг 4: Решаем:

$$D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9$$ $$y_1 = \frac{-1 — \sqrt{9}}{2} = \frac{-4}{2} = -2,\quad y_2 = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2} = \frac{2}{2} = 1$$

Шаг 5: Найдём $x$

1. $\tg x = -2$

$$x = -\arctg 2 + \pi n$$

2. $\tg x = 1$

$$x = \frac{\pi}{4} + \pi n$$

Ответ:

$$x = -\arctg 2 + \pi n,\quad \frac{\pi}{4} + \pi n,\quad n \in \mathbb{Z}$$

г)

$$3 \sin^2 x + \sin x \cdot \cos x — 2 \cos^2 x = 0$$

Шаг 1: Делим всё на $\cos^2 x$:

$$\frac{3 \sin^2 x}{\cos^2 x} + \frac{\sin x \cos x}{\cos^2 x} — \frac{2 \cos^2 x}{\cos^2 x} = 0$$

Шаг 2: Преобразуем:

• $\frac{3 \sin^2 x}{\cos^2 x} = 3 \tg^2 x$
• $\frac{\sin x \cos x}{\cos^2 x} = \tg x$
• $\frac{2 \cos^2 x}{\cos^2 x} = 2$

Получаем:

$$3 \tg^2 x + \tg x — 2 = 0$$

Шаг 3: Подставим $y = \tg x$:

$$3y^2 + y — 2 = 0$$

Шаг 4: Решаем:

$$D = 1^2 + 4 \cdot 3 \cdot 2 = 1 + 24 = 25$$ $$y_1 = \frac{-1 — \sqrt{25}}{6} = \frac{-6}{6} = -1$$ $$y_2 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$$

Шаг 5: Возвращаемся к $x$

1. $\tg x = -1$

$$x = -\arctg 1 + \pi n = -\frac{\pi}{4} + \pi n$$

2. $\tg x = \frac{2}{3}$

$$x = \arctg \left(\frac{2}{3}\right) + \pi n$$

Ответ:

$$x = -\frac{\pi}{4} + \pi n,\quad \arctg\left(\frac{2}{3}\right) + \pi n,\quad n \in \mathbb{Z}$$