ГДЗ 10-11 Класс Номер 18.21 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) $$$tg\,x — 2\,ctg\,x + 1 = 0$;

б) ${\displaystyle \frac{}{}}$$\dfrac{tg\,x + 5}{2} = \dfrac{1}{\cos^2 x}$;

в) $\mathrm{}$$2\,ctg\,x — 3\,tg\,x + 5 = 0$;

г) ${\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$$\dfrac{7 — ctg\,x}{4} = \dfrac{1}{\sin^2 x}$

Решить уравнение:

а) $$$tg\,x — 2\,ctg\,x + 1 = 0$;
$tg\,x — \dfrac{2}{tg\,x} + 1 = 0$;

Пусть $y = tg\,x$, тогда:
$y — \dfrac{2}{y} + 1 = 0 \quad |\cdot y$;
$y^2 + y — 2 = 0$;
$D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9$, тогда:
$y_1 = \dfrac{-1 — 3}{2} = -2$ и $y_2 = \dfrac{-1 + 3}{2} = 1$;

Первое значение:
$tg\,x = -2$;
$x = -arctg\,2 + \pi n$;

Второе значение:
$tg\,x = 1$;
$x = arctg\,1 + \pi n = \dfrac{\pi}{4} + \pi n$;

Ответ:$$$-arctg\,2 + \pi n; \dfrac{\pi}{4} + \pi n$.

б) ${\displaystyle \frac{}{}}$$\dfrac{tg\,x + 5}{2} = \dfrac{1}{\cos^2 x}$;
$\dfrac{tg\,x + 5}{2} = 1 + tg^2 x \quad |\cdot 2$;
$tg\,x + 5 = 2 + 2\,tg^2 x$;

Пусть $y = tg\,x$, тогда:
$2y^2 — y — 3 = 0$;
$D = 1^2 + 4 \cdot 3 \cdot 2 = 1 + 24 = 25$, тогда:
$y_1 = \dfrac{1 — 5}{2 \cdot 2} = -\dfrac{4}{4} = -1$ и $y_2 = \dfrac{1 + 5}{2 \cdot 2} = \dfrac{6}{4} = \dfrac{3}{2}$;

Первое значение:
$tg\,x = -1$;
$x = -arctg\,1 + \pi n = -\dfrac{\pi}{4} + \pi n$;

Второе значение:
$tg\,x = \dfrac{3}{2}$;
$x = arctg\dfrac{3}{2} + \pi n$;

Ответ:$$$-\dfrac{\pi}{4} + \pi n; \, arctg\dfrac{3}{2} + \pi n$.

в) $\mathrm{}$$2\,ctg\,x — 3\,tg\,x + 5 = 0$;
$\dfrac{2}{tg\,x} — 3\,tg\,x + 5 = 0$;

Пусть $y = tg\,x$, тогда:
$\dfrac{2}{y} — 3y + 5 = 0 \quad |\cdot y$;
$2 — 3y^2 + 5y = 0$;
$3y^2 — 5y — 2 = 0$;
$D = 5^2 + 4 \cdot 3 \cdot 2 = 25 + 24 = 49$, тогда:
$y_1 = \dfrac{5 — 7}{2 \cdot 3} = -\dfrac{2}{6} = -\dfrac{1}{3}$ и $y_2 = \dfrac{5 + 7}{2 \cdot 3} = \dfrac{12}{6} = 2$;

Первое значение:
$tg\,x = -\dfrac{1}{3}$;
$x = -arctg\dfrac{1}{3} + \pi n$;

Второе значение:
$tg\,x = 2$;
$x = arctg\,2 + \pi n$;

Ответ: $$$-arctg\dfrac{1}{3} + \pi n; \, arctg\,2 + \pi n$.

г) ${\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$$\dfrac{7 — ctg\,x}{4} = \dfrac{1}{\sin^2 x}$;
$\dfrac{7 — ctg\,x}{4} = 1 + ctg^2 x \quad |\cdot 4$;
$7 — ctg\,x = 4 + 4\,ctg^2 x$;

Пусть $y = ctg\,x$, тогда:
$4y^2 + y — 3 = 0$;
$D = 1^2 + 4 \cdot 4 \cdot 3 = 1 + 48 = 49$, тогда:
$y_1 = \dfrac{-1 — 7}{2 \cdot 4} = -\dfrac{8}{8} = -1$ и $y_2 = \dfrac{-1 + 7}{2 \cdot 4} = \dfrac{6}{8} = \dfrac{3}{4}$;

Первое значение:
$ctg\,x = -1$;
$x = (\pi — arccot\,1) + \pi n = \dfrac{3\pi}{4} + \pi n$;

Второе значение:
$ctg\,x = \dfrac{3}{4}$;
$x = arccot\dfrac{3}{4} + \pi n$;

Ответ: $\dfrac{3\pi}{4} + \pi n; \, arccot\dfrac{3}{4} + \pi n$.

а)

Уравнение:

$$tg\,x — 2\,ctg\,x + 1 = 0$$

Шаг 1.

Выразим всё через $tg\,x$:

$$ctg\,x = \frac{1}{tg\,x} \Rightarrow tg\,x — \frac{2}{tg\,x} + 1 = 0$$

Шаг 2.

Пусть $y = tg\,x$, тогда уравнение:

$$y — \frac{2}{y} + 1 = 0$$

Умножим обе части на $y$:

$$y^2 — 2 + y = 0 \Rightarrow y^2 + y — 2 = 0$$

Шаг 3.

Решим квадратное уравнение:

$$D = 1^2 + 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 + 8 = 9$$ $$y_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2} \Rightarrow y_1 = -2, \quad y_2 = 1$$

Шаг 4.

Вернёмся к переменной $x$:

• $tg\,x = -2 \Rightarrow x = -arctg\,2 + \pi n$
• $tg\,x = 1 \Rightarrow x = arctg\,1 + \pi n = \dfrac{\pi}{4} + \pi n$

Ответ:

$$x = -arctg\,2 + \pi n;\quad \dfrac{\pi}{4} + \pi n$$

б)

Уравнение:

$$\frac{tg\,x + 5}{2} = \frac{1}{\cos^2 x}$$

Шаг 1.

Используем тождество:

$$\frac{1}{\cos^2 x} = 1 + tg^2 x \Rightarrow \frac{tg\,x + 5}{2} = 1 + tg^2 x$$

Шаг 2.

Умножим обе части на 2:

$$tg\,x + 5 = 2 + 2tg^2 x$$

Шаг 3.

Введём замену: $y = tg\,x$, тогда:

$$2y^2 — y — 3 = 0$$ $$D = (-1)^2 + 4 \cdot 2 \cdot 3 = 1 + 24 = 25$$ $$y_{1,2} = \frac{1 \pm 5}{4} \Rightarrow y_1 = -1, \quad y_2 = \frac{3}{2}$$

Шаг 4.

Возвращаемся к $x$:

• $tg\,x = -1 \Rightarrow x = -arctg\,1 + \pi n = -\dfrac{\pi}{4} + \pi n$
• $tg\,x = \dfrac{3}{2} \Rightarrow x = arctg\,\dfrac{3}{2} + \pi n$

Ответ:

$$x = -\dfrac{\pi}{4} + \pi n;\quad arctg\,\dfrac{3}{2} + \pi n$$

в)

Уравнение:

$$2\,ctg\,x — 3\,tg\,x + 5 = 0$$

Шаг 1.

$ctg\,x = \dfrac{1}{tg\,x} \Rightarrow \frac{2}{tg\,x} — 3\,tg\,x + 5 = 0$

Шаг 2.

Пусть $y = tg\,x$, тогда:

$$\frac{2}{y} — 3y + 5 = 0 \quad |\cdot y \Rightarrow 2 — 3y^2 + 5y = 0 \Rightarrow 3y^2 — 5y — 2 = 0$$

Шаг 3.

$$D = (-5)^2 + 4 \cdot 3 \cdot 2 = 25 + 24 = 49$$ $$y_{1,2} = \frac{5 \pm 7}{6} \Rightarrow y_1 = -\frac{1}{3}, \quad y_2 = 2$$

Шаг 4.

Возвращаемся к $x$:

• $tg\,x = -\dfrac{1}{3} \Rightarrow x = -arctg\,\dfrac{1}{3} + \pi n$
• $tg\,x = 2 \Rightarrow x = arctg\,2 + \pi n$

Ответ:

$$x = -arctg\,\dfrac{1}{3} + \pi n;\quad arctg\,2 + \pi n$$

г)

Уравнение:

$$\frac{7 — ctg\,x}{4} = \frac{1}{\sin^2 x}$$

Шаг 1.

Используем тождество:

$$\frac{1}{\sin^2 x} = 1 + ctg^2 x \Rightarrow \frac{7 — ctg\,x}{4} = 1 + ctg^2 x$$

Шаг 2.

Умножим обе части на 4:

$$7 — ctg\,x = 4 + 4ctg^2 x \Rightarrow -ctg\,x = 4ctg^2 x — 3 \Rightarrow 4ctg^2 x + ctg\,x — 3 = 0$$

Шаг 3.

Пусть $y = ctg\,x$, тогда:

$$4y^2 + y — 3 = 0 \Rightarrow D = 1^2 + 4 \cdot 4 \cdot 3 = 1 + 48 = 49$$ $$y_{1,2} = \frac{-1 \pm 7}{8} \Rightarrow y_1 = -1, \quad y_2 = \frac{3}{4}$$

Шаг 4.

Возвращаемся к $x$:

• $ctg\,x = -1 \Rightarrow x = \pi — arccot\,1 + \pi n = \frac{3\pi}{4} + \pi n$
• $ctg\,x = \frac{3}{4} \Rightarrow x = arccot\,\frac{3}{4} + \pi n$

Ответ: