ГДЗ 10-11 Класс Номер 18.23 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Решить уравнение:

а)

$$\sin^2 x — \dfrac{12 — \sqrt{2}}{2} \cdot \sin x — 3\sqrt{2} = 0;$$

Пусть $y = \sin x$, тогда:

$$y^2 — \dfrac{12 — \sqrt{2}}{2} y — 3\sqrt{2} = 0;$$ $$D = \left(\dfrac{12 — \sqrt{2}}{2}\right)^2 + 4 \cdot 3\sqrt{2} = \dfrac{144 — 24\sqrt{2} + 2}{4} + 12\sqrt{2};$$ $$D = \dfrac{144 — 24\sqrt{2} + 2 + 48\sqrt{2}}{4} = \dfrac{144 + 24\sqrt{2} + 2}{4} = \left(\dfrac{12 + \sqrt{2}}{2}\right)^2;$$ $$y_1 = \dfrac{\dfrac{12 — \sqrt{2}}{2} — \dfrac{12 + \sqrt{2}}{2}}{2} = \dfrac{-2\sqrt{2}}{4} = -\dfrac{\sqrt{2}}{2};$$ $$y_2 = \dfrac{\dfrac{12 — \sqrt{2}}{2} + \dfrac{12 + \sqrt{2}}{2}}{2} = \dfrac{24}{4} = 6;$$

Первое значение:

$$\sin x = -\dfrac{\sqrt{2}}{2};$$ $$x = (-1)^{n+1} \cdot \arcsin \dfrac{\sqrt{2}}{2} + \pi n = (-1)^{n+1} \cdot \dfrac{\pi}{4} + \pi n;$$

Второе значение:

$$\sin x = 6 > 1, \quad x \in \varnothing;$$

Ответ:

$$(-1)^{n+1} \cdot \dfrac{\pi}{4} + \pi n.$$

б)

$$\cos^2 x — \dfrac{8 — \sqrt{3}}{2} \cdot \cos x — 2\sqrt{3} = 0;$$

Пусть $y = \cos x$, тогда:

$$y^2 — \dfrac{8 — \sqrt{3}}{2} y — 2\sqrt{3} = 0;$$ $$D = \left(\dfrac{8 — \sqrt{3}}{2}\right)^2 + 4 \cdot 2\sqrt{3} = \dfrac{64 — 16\sqrt{3} + 3}{4} + 8\sqrt{3};$$ $$D = \dfrac{64 — 16\sqrt{3} + 3 + 32\sqrt{3}}{4} = \dfrac{64 + 16\sqrt{3} + 3}{4} = \left(\dfrac{8 + \sqrt{3}}{2}\right)^2;$$ $$y_1 = \dfrac{\dfrac{8 — \sqrt{3}}{2} — \dfrac{8 + \sqrt{3}}{2}}{2} = \dfrac{-2\sqrt{3}}{4} = -\dfrac{\sqrt{3}}{2};$$ $$y_2 = \dfrac{\dfrac{8 — \sqrt{3}}{2} + \dfrac{8 + \sqrt{3}}{2}}{2} = \dfrac{16}{4} = 4;$$

Первое значение:

$$\cos x = -\dfrac{\sqrt{3}}{2};$$ $$x = \pm \left(\pi — \arccos \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) + 2\pi n = \pm \dfrac{5\pi}{6} + 2\pi n;$$

Второе значение:

$$\cos x = 4 > 1, \quad x \in \varnothing;$$

Ответ:

$$\pm \dfrac{5\pi}{6} + 2\pi n.$$

а)

Уравнение:

$$\sin^2 x — \dfrac{12 — \sqrt{2}}{2} \cdot \sin x — 3\sqrt{2} = 0$$

Шаг 1. Заменим переменную

Пусть $y = \sin x$, тогда уравнение принимает вид:

$$y^2 — \dfrac{12 — \sqrt{2}}{2} \cdot y — 3\sqrt{2} = 0$$

Шаг 2. Найдём дискриминант

Формула дискриминанта:

$$D = b^2 — 4ac$$

Здесь:

• $a = 1$
• $b = -\dfrac{12 — \sqrt{2}}{2}$
• $c = -3\sqrt{2}$

Подставим в формулу:

$$D = \left(\dfrac{12 — \sqrt{2}}{2}\right)^2 + 4 \cdot 1 \cdot 3\sqrt{2}$$

Вычислим поэтапно:

$$\left(\dfrac{12 — \sqrt{2}}{2}\right)^2 = \dfrac{(12 — \sqrt{2})^2}{4} = \dfrac{144 — 24\sqrt{2} + 2}{4} = \dfrac{146 — 24\sqrt{2}}{4}$$

Добавим $12\sqrt{2}$ (из $4 \cdot 3\sqrt{2}$):

$$D = \dfrac{146 — 24\sqrt{2}}{4} + 12\sqrt{2} = \dfrac{146 — 24\sqrt{2} + 48\sqrt{2}}{4} = \dfrac{146 + 24\sqrt{2}}{4}$$

Проверим:

$$D = \left(\dfrac{12 + \sqrt{2}}{2}\right)^2$$

Шаг 3. Найдём корни

Формула корней квадратного уравнения:

$$y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$

Подставим:

$$y_1 = \frac{\dfrac{12 — \sqrt{2}}{2} — \dfrac{12 + \sqrt{2}}{2}}{2} = \frac{-2\sqrt{2}}{4} = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$$ $$y_2 = \frac{\dfrac{12 — \sqrt{2}}{2} + \dfrac{12 + \sqrt{2}}{2}}{2} = \frac{24}{4} = 6$$

Шаг 4. Возвращаемся к переменной $x$

Первый корень:

$$\sin x = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$$

Решение уравнения $\sin x = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ имеет вид:

$$x = (-1)^{n+1} \cdot \arcsin \left( \dfrac{\sqrt{2}}{2} \right) + \pi n \Rightarrow x = (-1)^{n+1} \cdot \dfrac{\pi}{4} + \pi n$$

Второй корень:

$$\sin x = 6 \Rightarrow 6 > 1 \Rightarrow \text{Нет решений, т.к. } \sin x \in [-1, 1]$$

Ответ:

$$x = (-1)^{n+1} \cdot \dfrac{\pi}{4} + \pi n$$

б)

Уравнение:

$$\cos^2 x — \dfrac{8 — \sqrt{3}}{2} \cdot \cos x — 2\sqrt{3} = 0$$

Шаг 1. Заменим переменную

Пусть $y = \cos x$, тогда уравнение:

$$y^2 — \dfrac{8 — \sqrt{3}}{2} \cdot y — 2\sqrt{3} = 0$$

Шаг 2. Найдём дискриминант

Используем формулу:

$$D = b^2 — 4ac = \left(\dfrac{8 — \sqrt{3}}{2}\right)^2 + 4 \cdot 2\sqrt{3}$$

Вычислим:

$$\left(\dfrac{8 — \sqrt{3}}{2}\right)^2 = \dfrac{(8 — \sqrt{3})^2}{4} = \dfrac{64 — 16\sqrt{3} + 3}{4} = \dfrac{67 — 16\sqrt{3}}{4}$$

Добавим $8\sqrt{3}$:

$$D = \dfrac{67 — 16\sqrt{3} + 32\sqrt{3}}{4} = \dfrac{67 + 16\sqrt{3}}{4}$$

Проверка:

$$D = \left(\dfrac{8 + \sqrt{3}}{2}\right)^2$$

Шаг 3. Найдём корни

$$y_1 = \frac{\dfrac{8 — \sqrt{3}}{2} — \dfrac{8 + \sqrt{3}}{2}}{2} = \frac{-2\sqrt{3}}{4} = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$$ $$y_2 = \frac{\dfrac{8 — \sqrt{3}}{2} + \dfrac{8 + \sqrt{3}}{2}}{2} = \frac{16}{4} = 4$$

Шаг 4. Возвращаемся к переменной $x$

Первый корень:

$$\cos x = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$$

Решение:

$$x = \pm \left( \pi — \arccos \dfrac{\sqrt{3}}{2} \right) + 2\pi n = \pm \dfrac{5\pi}{6} + 2\pi n$$

Второй корень:

$$\cos x = 4 \Rightarrow 4 > 1 \Rightarrow \text{Нет решений, т.к. } \cos x \in [-1, 1]$$

Ответ:

$$x = \pm \dfrac{5\pi}{6} + 2\pi n$$