ГДЗ 10-11 Класс Номер 18.25 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Решить уравнение:

а) $\mathrm{}$$2 \sin^2 2x — 5 \sin 2x \cdot \cos 2x + 2 \cos^2 2x = 0 \quad | : \cos^2 2x$;

$2 \operatorname{tg}^2 2x — 5 \operatorname{tg} 2x + 2 = 0$;

Пусть $y = \operatorname{tg} 2x$, тогда:

$2y^2 — 5y + 2 = 0$;

$D = 5^2 — 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 — 16 = 9$, тогда:

$y_1 = \frac{5 — 3}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ и $y_2 = \frac{5 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2$;

Первое значение:

$\operatorname{tg} 2x = \frac{1}{2}$;

$2x = \operatorname{arctg} \frac{1}{2} + \pi n$;

$x = \frac{1}{2} \operatorname{arctg} \frac{1}{2} + \frac{\pi n}{2}$;

Второе значение:

$\operatorname{tg} 2x = 2$;

$2x = \operatorname{arctg} 2 + \pi n$;

$x = \frac{1}{2} \operatorname{arctg} 2 + \frac{\pi n}{2}$;

Ответ: $$$\frac{1}{2} \operatorname{arctg} \frac{1}{2} + \frac{\pi n}{2}; \frac{1}{2} \operatorname{arctg} 2 + \frac{\pi n}{2}$.

б) $\mathrm{}$$3 \sin^2 3x + 10 \sin 3x \cdot \cos 3x + 3 \cos^2 3x = 0 \quad | : \cos^2 3x$;

$3 \operatorname{tg}^2 3x + 10 \operatorname{tg} x + 3 = 0$;

Пусть $y = \operatorname{tg} x$, тогда:

$3y^2 + 10y + 3 = 0$;

$D = 10^2 — 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 — 36 = 64$, тогда:

$y_1 = \frac{-10 — 8}{2 \cdot 3} = -\frac{18}{6} = -3$ и $y_2 = \frac{-10 + 8}{2 \cdot 3} = -\frac{2}{6} = -\frac{1}{3}$;

Первое значение:

$\operatorname{tg} 3x = -3$;

$3x = -\operatorname{arctg} 3 + \pi n$;

$x = -\frac{1}{3} \operatorname{arctg} 3 + \frac{\pi n}{3}$;

Второе значение:

$\operatorname{tg} 3x = -\frac{1}{3}$;

$3x = -\operatorname{arctg} \frac{1}{3} + \pi n$;

$x = -\frac{1}{3} \operatorname{arctg} \frac{1}{3} + \frac{\pi n}{3}$;

Ответ: $$$-\frac{1}{3} \operatorname{arctg} 3 + \frac{\pi n}{3}; -\frac{1}{3} \operatorname{arctg} \frac{1}{3} + \frac{\pi n}{3}$.

а)

$$2 \sin^2 2x — 5 \sin 2x \cdot \cos 2x + 2 \cos^2 2x = 0$$

Шаг 1: Деление на $\cos^2 2x$

Учитываем, что $\cos 2x \ne 0$ (в противном случае знаменатель обнуляется, нужно проверить эти случаи отдельно, но они не дадут решений для исходного уравнения).

Разделим обе части уравнения на $\cos^2 2x$:

$$\frac{2 \sin^2 2x}{\cos^2 2x} — \frac{5 \sin 2x \cdot \cos 2x}{\cos^2 2x} + \frac{2 \cos^2 2x}{\cos^2 2x} = 0$$ $$2 \tg^2 2x — 5 \tg 2x + 2 = 0$$

Шаг 2: Замена переменной

Пусть:

$$y = \tg 2x$$

Подставим:

$$2y^2 — 5y + 2 = 0$$

Шаг 3: Решим квадратное уравнение

Находим дискриминант:

$$D = (-5)^2 — 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 — 16 = 9$$

Решаем:

$$y_1 = \frac{5 — \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 — 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$ $$y_2 = \frac{5 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2$$

Шаг 4: Возвращаемся к переменной $x$

Первое значение:

$$\tg 2x = \frac{1}{2}$$

Общее решение:

$$2x = \arctg \frac{1}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Разделим обе части на 2:

$$x = \frac{1}{2} \arctg \frac{1}{2} + \frac{\pi n}{2}$$

Второе значение:

$$\tg 2x = 2$$

Общее решение:

$$2x = \arctg 2 + \pi n$$ $$x = \frac{1}{2} \arctg 2 + \frac{\pi n}{2}$$

Ответ к пункту а:

$$x = \frac{1}{2} \arctg \frac{1}{2} + \frac{\pi n}{2}; \quad x = \frac{1}{2} \arctg 2 + \frac{\pi n}{2}, \quad n \in \mathbb{Z}$$

б)

$$3 \sin^2 3x + 10 \sin 3x \cdot \cos 3x + 3 \cos^2 3x = 0$$

Шаг 1: Деление на $\cos^2 3x$

$$\frac{3 \sin^2 3x}{\cos^2 3x} + \frac{10 \sin 3x \cdot \cos 3x}{\cos^2 3x} + \frac{3 \cos^2 3x}{\cos^2 3x} = 0$$ $$3 \tg^2 3x + 10 \tg 3x + 3 = 0$$

Шаг 2: Замена переменной

Пусть:

$$y = \tg 3x$$

Подставим:

$$3y^2 + 10y + 3 = 0$$

Шаг 3: Решим квадратное уравнение

$$D = 10^2 — 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 — 36 = 64$$ $$y_1 = \frac{-10 — \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{-10 — 8}{6} = \frac{-18}{6} = -3$$ $$y_2 = \frac{-10 + \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{-10 + 8}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$$

Шаг 4: Возвращаемся к переменной $x$

Первое значение:

$$\tg 3x = -3$$

Общее решение:

$$3x = \arctg (-3) + \pi n = -\arctg 3 + \pi n$$ $$x = -\frac{1}{3} \arctg 3 + \frac{\pi n}{3}$$

Второе значение:

$$\tg 3x = -\frac{1}{3}$$ $$3x = \arctg \left(-\frac{1}{3}\right) + \pi n = -\arctg \frac{1}{3} + \pi n$$ $$x = -\frac{1}{3} \arctg \frac{1}{3} + \frac{\pi n}{3}$$

Ответ к пункту б:

$$x = -\frac{1}{3} \arctg 3 + \frac{\pi n}{3}; \quad x = -\frac{1}{3} \arctg \frac{1}{3} + \frac{\pi n}{3}, \quad n \in \mathbb{Z}$$