ГДЗ 10-11 Класс Номер 18.27 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Решить уравнение:

а) $5{\sin }^{2}x-14\sin x\cdot \cos x-3{\cos }^{2}x=2$;
$5{\sin }^{2}x-14\sin x\cdot \cos x-3{\cos }^{2}x=2{\sin }^{2}x+2{\cos }^{2}x$;
$3{\sin }^{2}x-14\sin x\cdot \cos x-5{\cos }^{2}x=0\mathrm{\mid }:{\cos }^{2}x$;
$3{\mathrm{tg}}^{2}x-14\mathrm{tg}x-5=0$;

Пусть $y=\mathrm{tg}x$, тогда:
$3y^2-14y-5=0$;
$D={14}^2+4\cdot 3\cdot 5=196+60=256$, тогда:
$y_1=\frac{14-16}{2\cdot 3}=-\frac{2}{6}=-\frac{1}{3}$ и $y_2=\frac{14+16}{2\cdot 3}=\frac{30}{6}=5$;

Первое значение:
$\mathrm{tg}x=-\frac{1}{3}$;
$x=-\mathrm{arctg}\frac{1}{3}+\pi n$;

Второе значение:
$\mathrm{tg}x=5$;
$x=\mathrm{arctg}5+\pi n$;

Ответ: $-\mathrm{arctg}\frac{1}{3}+\pi n;\mathrm{arctg}5+\pi n$.

б) $3{\sin }^{2}x-\sin x\cdot \cos x=2$;
$3{\sin }^{2}x-\sin x\cdot \cos x=2{\sin }^{2}x+2{\cos }^{2}x$;
${\sin }^{2}x-\sin x\cdot \cos x-2{\cos }^{2}x=0\mathrm{\mid }:{\cos }^{2}x$;
${\mathrm{tg}}^{2}x-\mathrm{tg}x-2=0$;

Пусть $y=\mathrm{tg}x$, тогда:
$y^2-y-2=0$;
$D=1^2+4\cdot 2=1+8=9$, тогда:
$y_1=\frac{1-3}{2}=-1$ и $y_2=\frac{1+3}{2}=2$;

Первое значение:
$\mathrm{tg}x=-1$;
$x=-\mathrm{arctg}1+\pi n=-\frac{\pi }{4}+\pi n$;

Второе значение:
$\mathrm{tg}x=2$;
$x=\mathrm{arctg}2+\pi n$;

Ответ: $-\frac{\pi }{4}+\pi n;\mathrm{arctg}2+\pi n$.

в) $2{\cos }^{2}x-\sin x\cdot \cos x+5{\sin }^{2}x=3$;
$2{\cos }^{2}x-\sin x\cdot \cos x+5{\sin }^{2}x=3{\sin }^{2}x+3{\cos }^{2}x$;
$2{\sin }^{2}x-\sin x\cdot \cos x-{\cos }^{2}x=0\mathrm{\mid }:{\cos }^{2}x$;
$2{\mathrm{tg}}^{2}x-\mathrm{tg}x-1=0$;

Пусть $y=\mathrm{tg}x$, тогда:
$2y^2-y-1=0$;
$D=1^2+4\cdot 2=1+8=9$, тогда:
$y_1=\frac{1-3}{2\cdot 2}=-\frac{2}{4}=-\frac{1}{2}$ и $y_2=\frac{1+3}{2\cdot 2}=\frac{4}{4}=1$;

Первое значение:
$\mathrm{tg}x=-\frac{1}{2}$;
$x=-\mathrm{arctg}\frac{1}{2}+\pi n$;

Второе значение:
$\mathrm{tg}x=1$;
$x=\mathrm{arctg}1+\pi n=\frac{\pi }{4}+\pi n$;

Ответ: $-\mathrm{arctg}\frac{1}{2}+\pi n;\frac{\pi }{4}+\pi n$.

г) $4{\sin }^{2}x-2\sin x\cdot \cos x=3$;
$4{\sin }^{2}x-2\sin x\cdot \cos x=3{\sin }^{2}x+3{\cos }^{2}x$;
${\sin }^{2}x-2\sin x\cdot \cos x-3{\cos }^{2}x=0\mathrm{\mid }:{\cos }^{2}x$;
${\mathrm{tg}}^{2}x-2\mathrm{tg}x-3=0$;

Пусть $y=\mathrm{tg}x$, тогда:
$y^2-2y-3=0$;
$D=2^2+4\cdot 3=4+12=16$, тогда:
$y_1=\frac{2-4}{2}=-1$ и $y_2=\frac{2+4}{2}=3$;

Первое значение:
$\mathrm{tg}x=-1$;
$x=-\mathrm{arctg}1+\pi n=-\frac{\pi }{4}+\pi n$;

Второе значение:
$\mathrm{tg}x=3$;
$x=\mathrm{arctg}3+\pi n$;

Ответ: $-\frac{\pi }{4}+\pi n;\mathrm{arctg}3+\pi n$.

а)

Дано:

$$5{\sin }^{2}x-14\sin x\cos x-3{\cos }^{2}x=2.$$

Шаг 1. Переносим правую часть и используем тождество.
$2=2({\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x)$:

$$5{\sin }^{2}x-14\sin x\cos x-3{\cos }^{2}x=2{\sin }^{2}x+2{\cos }^{2}x$$$$⟹(5-2){\sin }^{2}x-14\sin x\cos x-(3+2){\cos }^{2}x=0$$$$⟹3{\sin }^{2}x-14\sin x\cos x-5{\cos }^{2}x=0.$$

Шаг 2. Проверяем случай $\cos x=0$.
Подстановка даёт $3\mathrm{\ne }0$ — решений нет, делить на ${\cos }^{2}x$ можно.

Шаг 3. Делим на ${\cos }^{2}x$ и вводим $t=\mathrm{tg}x$.

$$3{\mathrm{tg}}^{2}x-14\mathrm{tg}x-5=0.$$

Пусть $t=\mathrm{tg}x$: $3t^2-14t-5=0$.

Шаг 4. Решаем квадратное по $t$.

$$D=196+60=256,t_{1,2}=\frac{14\pm 16}{6}\Rightarrow t_1=-\frac{1}{3},t_2=5.$$

Шаг 5. Возвращаемся к $x$.

$$\mathrm{tg}x=-\frac{1}{3}\Rightarrow x=-\mathrm{arctg}\frac{1}{3}+\pi n;\mathrm{tg}x=5\Rightarrow x=\mathrm{arctg}5+\pi n\mathrm{.}$$

Ответ к а): $\boxed{{\displaystyle x=-\mathrm{arctg}\frac{1}{3}+\pi n;x=\mathrm{arctg}5+\pi n,n\in \mathbb{Z}\mathrm{.}}}$

б)

Дано:

$$3{\sin }^{2}x-\sin x\cos x=2.$$

Шаг 1. Приводим к нулю с использованием тождества.

$$3{\sin }^{2}x-\sin x\cos x=2({\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x)$$$$⟹{\sin }^{2}x-\sin x\cos x-2{\cos }^{2}x=0.$$

Шаг 2. Проверяем $\cos x=0$.
В исходном уравнении $3\mathrm{\ne }2$ — нет решений; делить можно.

Шаг 3. Делим на ${\cos }^{2}x$, вводим $t=\mathrm{tg}x$.

$${\mathrm{tg}}^{2}x-\mathrm{tg}x-2=0,t^2-t-2=0.$$

Шаг 4. Решаем квадратное.

$$D=9,t_{1,2}=\frac{1\pm 3}{2}\Rightarrow t_1=-1,t_2=2.$$

Шаг 5. Записываем решения.

$$\mathrm{tg}x=-1\Rightarrow x=-\mathrm{arctg}1+\pi n=-\frac{\pi }{4}+\pi n;$$$$\mathrm{tg}x=2\Rightarrow x=\mathrm{arctg}2+\pi n\mathrm{.}$$

Ответ к б): $\boxed{{\displaystyle x=-\frac{\pi }{4}+\pi n;x=\mathrm{arctg}2+\pi n,n\in \mathbb{Z}\mathrm{.}}}$

в)

Дано:

$$2{\cos }^{2}x-\sin x\cos x+5{\sin }^{2}x=3.$$

Шаг 1. Используем $3({\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x)$ и приводим к нулю.

$$2{\cos }^{2}x-\sin x\cos x+5{\sin }^{2}x=3{\sin }^{2}x+3{\cos }^{2}x$$$$⟹2{\sin }^{2}x-\sin x\cos x-{\cos }^{2}x=0.$$

Шаг 2. Проверяем $\cos x=0$.
В исходном уравнении получаем $5\mathrm{\ne }3$ — решений нет; делить можно.

Шаг 3. Делим на ${\cos }^{2}x$, вводим $t=\mathrm{tg}x$.

$$2{\mathrm{tg}}^{2}x-\mathrm{tg}x-1=0,2t^2-t-1=0.$$

Шаг 4. Решаем квадратное.

$$D=9,t_{1,2}=\frac{1\pm 3}{4}\Rightarrow t_1=-\frac{1}{2},t_2=1.$$

Шаг 5. Записываем решения.

$$\mathrm{tg}x=-\frac{1}{2}\Rightarrow x=-\mathrm{arctg}\frac{1}{2}+\pi n;$$

$$\mathrm{tg}x=1\Rightarrow x=\mathrm{arctg}1+\pi n=\frac{\pi }{4}+\pi n\mathrm{.}$$

Ответ к в): $\boxed{{\displaystyle x=-\mathrm{arctg}\frac{1}{2}+\pi n;x=\frac{\pi }{4}+\pi n,n\in \mathbb{Z}\mathrm{.}}}$

г)

Дано:

$$4{\sin }^{2}x-2\sin x\cos x=3.$$

Шаг 1. Используем тождество и приводим к нулю.

$$4{\sin }^{2}x-2\sin x\cos x=3{\sin }^{2}x+3{\cos }^{2}x$$$$⟹{\sin }^{2}x-2\sin x\cos x-3{\cos }^{2}x=0.$$

Шаг 2. Проверяем $\cos x=0$.
В исходном уравнении $4\mathrm{\ne }3$ — решений нет; делить можно.

Шаг 3. Делим на ${\cos }^{2}x$, вводим $t=\mathrm{tg}x$.

$${\mathrm{tg}}^{2}x-2\mathrm{tg}x-3=0,t^2-2t-3=0.$$

Шаг 4. Решаем квадратное.

$$D=16,t_{1,2}=\frac{2\pm 4}{2}\Rightarrow t_1=-1,t_2=3.$$

Шаг 5. Записываем решения.

$$\mathrm{tg}x=-1\Rightarrow x=-\mathrm{arctg}1+\pi n=-\frac{\pi }{4}+\pi n;$$$$\mathrm{tg}x=3\Rightarrow x=\mathrm{arctg}3+\pi n\mathrm{.}$$

Ответ к г): $\boxed{{\displaystyle x=-\frac{\pi }{4}+\pi n;x=\mathrm{arctg}3+\pi n,n\in \mathbb{Z}\mathrm{.}}}$

Итог:$\mathrm{}$

а) $x=-\mathrm{arctg}\frac{1}{3}+\pi n;x=\mathrm{arctg}5+\pi n$.

б) $x=-\frac{\pi }{4}+\pi n;x=\mathrm{arctg}2+\pi n$.

в) $x=-\mathrm{arctg}\frac{1}{2}+\pi n;x=\frac{\pi }{4}+\pi n$.

г) $x=-\frac{\pi }{4}+\pi n;x=\mathrm{arctg}3+\pi n$, $n\in \mathbb{Z}$.