ГДЗ 10-11 Класс Номер 18.29 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Решить уравнение:

а)

$$3\sin^2 2x — 2 = \sin 2x \cdot \cos 2x;$$ $$3\sin^2 2x — 2\sin^2 2x — 2\cos^2 2x = \sin 2x \cdot \cos 2x;$$ $$\sin^2 2x — \sin 2x \cdot \cos 2x — 2\cos^2 2x = 0 \quad | : \cos^2 2x;$$ $$\operatorname{tg}^2 2x — \operatorname{tg} 2x — 2 = 0;$$

Пусть $y = \operatorname{tg} 2x$, тогда:

$$y^2 — y — 2 = 0;$$ $$D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9, \text{ тогда:}$$ $$y_1 = \frac{1 — 3}{2} = -1 \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{1 + 3}{2} = 2;$$

Первое значение:

$$\operatorname{tg} 2x = -1;$$ $$2x = -\operatorname{arctg} 1 + \pi n = -\frac{\pi}{4} + \pi n;$$ $$x = -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2};$$

Второе значение:

$$\operatorname{tg} 2x = 2;$$ $$2x = \operatorname{arctg} 2 + \pi n;$$ $$x = \frac{1}{2}\operatorname{arctg} 2 + \frac{\pi n}{2};$$

Ответ:

$$-\frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}; \quad \frac{1}{2}\operatorname{arctg} 2 + \frac{\pi n}{2}.$$

б)

$$2\sin^2 4x — 4 = 3\sin 4x \cdot \cos 4x — 4\cos^2 4x;$$ $$2\sin^2 4x — 4\sin^2 4x — 4\cos^2 4x = 3\sin 4x \cdot \cos 4x — 4\cos^2 4x;$$ $$2\sin^2 4x + 3\sin 4x \cdot \cos 4x = 0 \quad | : \sin^2 4x;$$ $$2 + 3\operatorname{ctg} 4x = 0;$$ $$3\operatorname{ctg} 4x = -2;$$ $$\operatorname{ctg} 4x = -\frac{2}{3};$$ $$\operatorname{tg} 4x = -\frac{3}{2};$$ $$4x = -\operatorname{arctg} 1{,}5 + \pi n;$$ $$x = -\frac{1}{4}\operatorname{arctg} 1{,}5 + \frac{\pi n}{4};$$

Одно из решений:

$$\sin 4x = 0;$$ $$4x = \pi n;$$ $$x = \frac{\pi n}{4};$$

Ответ:

$$-\frac{1}{4}\operatorname{arctg} 1{,}5 + \frac{\pi n}{4}; \quad \frac{\pi n}{4}.$$

а)

Решить уравнение:

$$3\sin^2 2x — 2 = \sin 2x \cdot \cos 2x$$

Шаг 1. Переносим всё в одну часть

$$3\sin^2 2x — \sin 2x \cdot \cos 2x — 2 = 0$$

Шаг 2. Представим $-2$ как $-2\sin^2 2x — 2\cos^2 2x$

Так как $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$, то:

$$-2 = -2(\sin^2 2x + \cos^2 2x) = -2\sin^2 2x — 2\cos^2 2x$$

Подставим это:

$$3\sin^2 2x — 2\sin^2 2x — 2\cos^2 2x — \sin 2x \cos 2x = 0$$

Шаг 3. Упрощаем

$$\sin^2 2x — \sin 2x \cdot \cos 2x — 2\cos^2 2x = 0$$

Шаг 4. Делим на $\cos^2 2x$ (если $\cos 2x \ne 0$)

$$\frac{\sin^2 2x}{\cos^2 2x} — \frac{\sin 2x \cdot \cos 2x}{\cos^2 2x} — \frac{2\cos^2 2x}{\cos^2 2x} = 0$$ $$\operatorname{tg}^2 2x — \operatorname{tg} 2x — 2 = 0$$

Шаг 5. Вводим замену переменной

Пусть $y = \operatorname{tg} 2x$. Тогда:

$$y^2 — y — 2 = 0$$

Шаг 6. Решаем квадратное уравнение

$$D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9$$ $$y_1 = \frac{1 — 3}{2} = -1, \quad y_2 = \frac{1 + 3}{2} = 2$$

Шаг 7. Решаем $\operatorname{tg} 2x = -1$

$$2x = -\operatorname{arctg} 1 + \pi n = -\frac{\pi}{4} + \pi n$$ $$x = -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}$$

Шаг 8. Решаем $\operatorname{tg} 2x = 2$

$$2x = \operatorname{arctg} 2 + \pi n \Rightarrow x = \frac{1}{2} \operatorname{arctg} 2 + \frac{\pi n}{2}$$

Ответ к пункту а:

$$x = -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}; \quad x = \frac{1}{2}\operatorname{arctg} 2 + \frac{\pi n}{2}, \quad n \in \mathbb{Z}$$

б)

Решить уравнение:

$$2\sin^2 4x — 4 = 3\sin 4x \cdot \cos 4x — 4\cos^2 4x$$

Шаг 1. Переносим всё в одну часть

$$2\sin^2 4x — 3\sin 4x \cdot \cos 4x — 4 + 4\cos^2 4x = 0$$

Упорядочим:

$$2\sin^2 4x + 4\cos^2 4x — 3\sin 4x \cdot \cos 4x — 4 = 0$$

Шаг 2. Представим $-4$ как $-4\sin^2 4x — 4\cos^2 4x$

$$-4 = -4(\sin^2 4x + \cos^2 4x) \Rightarrow -4\sin^2 4x — 4\cos^2 4x$$

Тогда:

$$2\sin^2 4x — 4\sin^2 4x — 4\cos^2 4x + 4\cos^2 4x — 3\sin 4x \cdot \cos 4x = 0$$

Шаг 3. Упрощаем

$$-2\sin^2 4x — 3\sin 4x \cdot \cos 4x = 0$$

Шаг 4. Умножаем обе части на -1

$$2\sin^2 4x + 3\sin 4x \cdot \cos 4x = 0$$

Шаг 5. Делим на $\sin^2 4x$ (если $\sin 4x \ne 0$)

$$\frac{2\sin^2 4x}{\sin^2 4x} + \frac{3\sin 4x \cdot \cos 4x}{\sin^2 4x} = 0 \Rightarrow 2 + 3\operatorname{ctg} 4x = 0$$

Шаг 6. Решаем уравнение

$$3\operatorname{ctg} 4x = -2 \Rightarrow \operatorname{ctg} 4x = -\frac{2}{3} \Rightarrow \operatorname{tg} 4x = -\frac{3}{2}$$

Шаг 7. Находим 4x

$$4x = \operatorname{arctg}(-1{,}5) + \pi n = -\operatorname{arctg} 1{,}5 + \pi n$$ $$x = -\frac{1}{4} \operatorname{arctg} 1{,}5 + \frac{\pi n}{4}$$

Шаг 8. Проверим случай $\sin 4x = 0$

$$\sin 4x = 0 \Rightarrow 4x = \pi n \Rightarrow x = \frac{\pi n}{4}$$

Подставим в исходное:

• Левая: $2 \cdot 0 — 4 = -4$
• Правая: $3 \cdot 0 — 4 \cdot 1 = -4$

Равенство выполняется, значит — это решение.

Ответ к пункту б:

$$x=-\frac{1}{4}\mathrm{arctg}\mathrm{1,5}+\frac{\pi n}{4};x=\frac{\pi n}{4},n\in \mathbb{Z}$$