ГДЗ 10-11 Класс Номер 18.39 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Решить уравнение:

а)

$$\sin^2 x + \cos\left(\frac{\pi}{2} — x\right) \cdot \sin\left(\frac{\pi}{2} — x\right) — 2\cos^2 x = 0;$$ $$\sin^2 x + \sin x \cdot \cos x — 2\cos^2 x = 0 \quad | : \cos^2 x;$$ $$\operatorname{tg}^2 x + \operatorname{tg} x — 2 = 0;$$

Пусть $y = \operatorname{tg} x$, тогда:

$$y^2 + y — 2 = 0;$$ $$D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9,$$

тогда:

$$y_1 = \frac{-1 — 3}{2} = -2 \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{-1 + 3}{2} = 1;$$

Первое значение:

$$\operatorname{tg} x = -2 \Rightarrow x = -\operatorname{arctg} 2 + \pi n;$$

Второе значение:

$$\operatorname{tg} x = 1 \Rightarrow x = \operatorname{arctg} 1 + \pi n = \frac{\pi}{4} + \pi n;$$

Ответ:

$$-\operatorname{arctg} 2 + \pi n;\quad \frac{\pi}{4} + \pi n$$

б)

$$\sin^2 3x + 3\cos^2 3x — 4\sin\left(\frac{\pi}{2} + 3x\right) \cdot \cos\left(\frac{\pi}{2} + 3x\right) = 0;$$ $$\sin^2 3x + 4\cos 3x \cdot \sin 3x + 3\cos^2 3x = 0 \quad | : \cos^2 3x;$$ $$\operatorname{tg}^2 3x + 4\operatorname{tg} 3x + 3 = 0;$$

Пусть $y = \operatorname{tg} 3x$, тогда:

$$y^2 + 4y + 3 = 0;$$ $$D = 4^2 — 4 \cdot 3 = 16 — 12 = 4,$$

тогда:

$$y_1 = \frac{-4 — 2}{2} = -3 \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{-4 + 2}{2} = -1;$$

Первое значение:

$$\operatorname{tg} 3x = -3 \Rightarrow 3x = -\operatorname{arctg} 3 + \pi n \Rightarrow x = -\frac{1}{3}\operatorname{arctg} 3 + \frac{\pi n}{3};$$

Второе значение:

$$\operatorname{tg} 3x = -1 \Rightarrow 3x = -\operatorname{arctg} 1 + \pi n = -\frac{\pi}{4} + \pi n;$$ $$x = \frac{1}{3} \cdot \left(-\frac{\pi}{4} + \pi n\right) = -\frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{3};$$

Ответ:

$$-\frac{1}{3}\operatorname{arctg} 3 + \frac{\pi n}{3};\quad -\frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{3}$$

в)

$$\sin^2 x + 2\sin(\pi — x) \cdot \cos x — 3\cos^2(2\pi — x) = 0;$$ $$\sin^2 x + 2\sin x \cdot \cos x — 3\cos^2 x = 0 \quad | : \cos^2 x;$$ $$\operatorname{tg}^2 x + 2\operatorname{tg} x — 3 = 0;$$

Пусть $y = \operatorname{tg} x$, тогда:

$$y^2 + 2y — 3 = 0;$$ $$D = 2^2 + 4 \cdot 3 = 4 + 12 = 16,$$

тогда:

$$y_1 = \frac{-2 — 4}{2} = -3 \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{-2 + 4}{2} = 1;$$

Первое значение:

$$\operatorname{tg} x = -3 \Rightarrow x = -\operatorname{arctg} 3 + \pi n;$$

Второе значение:

$$\operatorname{tg} x = 1 \Rightarrow x = \operatorname{arctg} 1 + \pi n = \frac{\pi}{4} + \pi n;$$

Ответ:

$$-\operatorname{arctg} 3 + \pi n;\quad \frac{\pi}{4} + \pi n$$

г)

$$\sin^2(\pi — 3x) + 5\sin(\pi — 3x) \cdot \cos 3x + 4\sin^2\left(\frac{3\pi}{2} — 3x\right) = 0;$$ $$\sin^2 3x + 5\sin 3x \cdot \cos 3x + 4\cos^2 3x = 0 \quad | : \cos^2 3x;$$ $$\operatorname{tg}^2 3x + 5\operatorname{tg} x + 4 = 0;$$

Пусть $y = \operatorname{tg} 3x$, тогда:

$$y^2 + 5y + 4 = 0;$$ $$D = 5^2 — 4 \cdot 4 = 25 — 16 = 9,$$

тогда:

$$y_1 = \frac{-5 — 3}{2} = -4 \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{-5 + 3}{2} = -1;$$

Первое значение:

$$\operatorname{tg} 3x = -4 \Rightarrow 3x = -\operatorname{arctg} 4 + \pi n \Rightarrow x = -\frac{1}{3}\operatorname{arctg} 4 + \frac{\pi n}{3};$$

Второе значение:

$$\operatorname{tg} 3x = -1 \Rightarrow 3x = -\operatorname{arctg} 1 + \pi n = -\frac{\pi}{4} + \pi n;$$ $$x = \frac{1}{3} \cdot \left(-\frac{\pi}{4} + \pi n\right) = -\frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{3};$$

Ответ:

$$-\frac{1}{3}\operatorname{arctg} 4 + \frac{\pi n}{3};\quad -\frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{3}$$

а)

Решить уравнение:

$$\sin^2 x + \cos\left(\frac{\pi}{2} — x\right) \cdot \sin\left(\frac{\pi}{2} — x\right) — 2\cos^2 x = 0$$

Шаг 1. Формулы приведения:

$$\cos\left(\frac{\pi}{2} — x\right) = \sin x,\quad \sin\left(\frac{\pi}{2} — x\right) = \cos x$$

Подставим:

$$\sin^2 x + \sin x \cdot \cos x — 2\cos^2 x = 0$$

Шаг 2. Делим на $\cos^2 x$ (если $\cos x \ne 0$):

$$\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} + \frac{\sin x}{\cos x} — 2 = 0 \Rightarrow \tg^2 x + \tg x — 2 = 0$$

Шаг 3. Решаем квадратное уравнение:

Пусть $y = \tg x$, тогда:

$$y^2 + y — 2 = 0 \Rightarrow D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 9$$ $$y_1 = \frac{-1 — 3}{2} = -2,\quad y_2 = \frac{-1 + 3}{2} = 1$$

Шаг 4. Найдём $x$:

• $\tg x = -2 \Rightarrow x = -\arctg 2 + \pi n$
• $\tg x = 1 \Rightarrow x = \arctg 1 + \pi n = \frac{\pi}{4} + \pi n$

Ответ а):

$$\boxed{x = -\arctg 2 + \pi n;\quad x = \frac{\pi}{4} + \pi n}$$

б)

Решить уравнение:

$$\sin^2 3x + 3\cos^2 3x — 4\sin\left(\frac{\pi}{2} + 3x\right) \cdot \cos\left(\frac{\pi}{2} + 3x\right) = 0$$

Шаг 1. Формулы приведения:

$$\sin\left(\frac{\pi}{2} + 3x\right) = \cos 3x,\quad \cos\left(\frac{\pi}{2} + 3x\right) = -\sin 3x$$

Подставим:

$$\sin^2 3x + 4\cos 3x \cdot \sin 3x + 3\cos^2 3x = 0$$

Шаг 2. Делим на $\cos^2 3x$:

$$\tg^2 3x + 4\tg 3x + 3 = 0$$

Шаг 3. Решаем квадратное уравнение:

Пусть $y = \tg 3x$:

$$y^2 + 4y + 3 = 0,\quad D = 4^2 — 4 \cdot 3 = 4$$ $$y_1 = -3,\quad y_2 = -1$$

Шаг 4. Найдём $x$:

• $\tg 3x = -3 \Rightarrow 3x = -\arctg 3 + \pi n \Rightarrow x = -\frac{1}{3} \arctg 3 + \frac{\pi n}{3}$
• $\tg 3x = -1 \Rightarrow x = -\frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{3}$

Ответ б):

$$\boxed{x = -\frac{1}{3} \arctg 3 + \frac{\pi n}{3};\quad x = -\frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{3}}$$

в)

Решить уравнение:

$$\sin^2 x + 2\sin(\pi — x) \cdot \cos x — 3\cos^2(2\pi — x) = 0$$

Шаг 1. Преобразуем:

$$\sin(\pi — x) = \sin x,\quad \cos(2\pi — x) = \cos x$$

Подставим:

$$\sin^2 x + 2\sin x \cdot \cos x — 3\cos^2 x = 0$$

Шаг 2. Делим на $\cos^2 x$:

$$\tg^2 x + 2\tg x — 3 = 0$$

Шаг 3. Решаем квадратное уравнение:

Пусть $y = \tg x$:

$$y^2 + 2y — 3 = 0,\quad D = 4 + 12 = 16$$ $$y_1 = -3,\quad y_2 = 1$$

Шаг 4. Найдём $x$:

• $\tg x = -3 \Rightarrow x = -\arctg 3 + \pi n$
• $\tg x = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{4} + \pi n$

Ответ в):

$$\boxed{x = -\arctg 3 + \pi n;\quad x = \frac{\pi}{4} + \pi n}$$

г)

Решить уравнение:

$$\sin^2(\pi — 3x) + 5\sin(\pi — 3x) \cdot \cos 3x + 4\sin^2\left(\frac{3\pi}{2} — 3x\right) = 0$$

Шаг 1. Формулы приведения:

$$\sin(\pi — 3x) = \sin 3x,\quad \sin\left(\frac{3\pi}{2} — 3x\right) = -\cos 3x \Rightarrow \sin^2\left(\frac{3\pi}{2} — 3x\right) = \cos^2 3x$$

Подставим:

$$\sin^2 3x + 5\sin 3x \cdot \cos 3x + 4\cos^2 3x = 0$$

Шаг 2. Делим на $\cos^2 3x$:

$$\tg^2 3x + 5\tg 3x + 4 = 0$$

Шаг 3. Решаем квадратное уравнение:

Пусть $y = \tg 3x$:

$$y^2 + 5y + 4 = 0,\quad D = 25 — 16 = 9$$ $$y_1 = -4,\quad y_2 = -1$$

Шаг 4. Найдём $x$:

• $\tg 3x = -4 \Rightarrow x = -\frac{1}{3} \arctg 4 + \frac{\pi n}{3}$
• $\tg 3x = -1 \Rightarrow x = -\frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{3}$

Ответ г):

$$\boxed{x = -\frac{1}{3} \arctg 4 + \frac{\pi n}{3};\quad x = -\frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{3}}$$