ГДЗ 10-11 Класс Номер 18.4 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) $\cos\left(\frac{\pi}{6} — 2x\right) = -1$;

б) $tg\left(\frac{\pi}{4} — \frac{x}{2}\right) = -1$;

в) $2\sin\left(\frac{\pi}{3} — \frac{x}{4}\right) = \sqrt{3}$;

г) $2\cos\left(\frac{\pi}{4} — 3x\right) = \sqrt{2}$

Решить уравнение:

а) $\cos\left(\frac{\pi}{6} — 2x\right) = -1$;
$\cos\left(2x — \frac{\pi}{6}\right) = -1$;
$2x — \frac{\pi}{6} = \pi + 2\pi n$;
$2x = \pi + \frac{\pi}{6} + 2\pi n$;
$x = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{12} + \pi n = \frac{7\pi}{12} + \pi n$;
Ответ: $\frac{7\pi}{12} + \pi n$.

б) $tg\left(\frac{\pi}{4} — \frac{x}{2}\right) = -1$;
$-tg\left(\frac{x}{2} — \frac{\pi}{4}\right) = -1$;
$tg\left(\frac{x}{2} — \frac{\pi}{4}\right) = 1$;
$\frac{x}{2} — \frac{\pi}{4} = arctg\,1 + \pi n = \frac{\pi}{4} + \pi n$;
$\frac{x}{2} = \frac{2\pi}{4} + \pi n$;
$x = \frac{4\pi}{4} + 2\pi n = \pi + 2\pi n$;
Ответ: $\pi + 2\pi n$.

в) $2\sin\left(\frac{\pi}{3} — \frac{x}{4}\right) = \sqrt{3}$;
$-2\sin\left(\frac{x}{4} — \frac{\pi}{3}\right) = \sqrt{3}$;
$\sin\left(\frac{x}{4} — \frac{\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$;
$\frac{x}{4} — \frac{\pi}{3} = (-1)^{n+1} \cdot \arcsin\frac{\sqrt{3}}{2} + \pi n$;
$\frac{x}{4} — \frac{\pi}{3} = (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{3} + \pi n$;

Если $n = 2k$, тогда:
$\frac{x}{4} — \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k$;
$\frac{x}{4} = 2\pi k$;
$x = 8\pi k$.

Если $n = 2k — 1$, тогда:
$\frac{x}{4} — \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{3} + 2\pi k — \pi$;
$\frac{x}{4} = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k — \pi$;
$x = \frac{8\pi}{3} + 8\pi k — 4\pi = -\frac{4\pi}{3} + 8\pi k$;

Ответ: $8\pi k;\; -\frac{4\pi}{3} + 8\pi k$.

г) $2\cos\left(\frac{\pi}{4} — 3x\right) = \sqrt{2}$;
$\cos\left(3x — \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$;
$3x — \frac{\pi}{4} = \pm\arccos\frac{\sqrt{2}}{2} + 2\pi n$;
$3x — \frac{\pi}{4} = \pm\frac{\pi}{4} + 2\pi n$;

Первое значение:
$3x — \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n$;
$3x = 2\pi n$;
$x = \frac{2\pi n}{3}$;

Второе значение:
$3x — \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 2\pi n$;
$3x = \frac{2\pi}{4} + 2\pi n$;
$x = \frac{2\pi}{12} + \frac{2\pi n}{3} = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}$;

Ответ: $\frac{2\pi n}{3};\; \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}$.

а) $\cos\left(\frac{\pi}{6} — 2x\right) = -1$

Шаг 1. Упростим аргумент

Перепишем в более привычном виде:

$$\cos\left(\frac{\pi}{6} — 2x\right) = -1 \quad \Rightarrow \quad \cos\left(2x — \frac{\pi}{6}\right) = -1$$

(используем нечетность косинуса: $\cos(-A) = \cos A$)

Шаг 2. Найдём значения, при которых $\cos \theta = -1$

$$\cos \theta = -1 \Rightarrow \theta = \pi + 2\pi n,\quad n \in \mathbb{Z}$$

Шаг 3. Приравниваем аргумент

$$2x — \frac{\pi}{6} = \pi + 2\pi n$$

Шаг 4. Решаем уравнение

$$2x = \pi + \frac{\pi}{6} + 2\pi n = \frac{6\pi + \pi}{6} + 2\pi n = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n$$ $$x = \frac{7\pi}{12} + \pi n$$

Ответ:

$$\boxed{x = \frac{7\pi}{12} + \pi n}, \quad n \in \mathbb{Z}$$

б) $\tan\left(\frac{\pi}{4} — \frac{x}{2}\right) = -1$

Шаг 1. Упростим выражение

$$\tan\left(\frac{\pi}{4} — \frac{x}{2}\right) = -1 \Rightarrow -\tan\left(\frac{x}{2} — \frac{\pi}{4}\right) = -1 \Rightarrow \tan\left(\frac{x}{2} — \frac{\pi}{4}\right) = 1$$

Шаг 2. Найдём значения, при которых $\tan \theta = 1$

$$\tan \theta = 1 \Rightarrow \theta = \frac{\pi}{4} + \pi n,\quad n \in \mathbb{Z}$$

Шаг 3. Приравниваем аргумент

$$\frac{x}{2} — \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + \pi n$$

Шаг 4. Решаем уравнение

$$\frac{x}{2} = \frac{2\pi}{4} + \pi n = \frac{\pi}{2} + \pi n \Rightarrow x = \pi + 2\pi n$$

Ответ:

$$\boxed{x = \pi + 2\pi n}, \quad n \in \mathbb{Z}$$

в) $2\sin\left(\frac{\pi}{3} — \frac{x}{4}\right) = \sqrt{3}$

Шаг 1. Изолируем синус

$$\sin\left(\frac{\pi}{3} — \frac{x}{4}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow -\sin\left(\frac{x}{4} — \frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow \sin\left(\frac{x}{4} — \frac{\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$

(использована нечетность синуса: $\sin(-A) = -\sin A$)

Шаг 2. Решаем $\sin \theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

$$\sin \theta = -\frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow \theta = (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{3} + \pi n,\quad n \in \mathbb{Z}$$

Шаг 3. Приравниваем аргумент

$$\frac{x}{4} — \frac{\pi}{3} = (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{3} + \pi n$$

Разделим на случаи:

Случай 1: $n = 2k$

$$(-1)^{2k+1} = -1 \Rightarrow \frac{x}{4} — \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k \Rightarrow \frac{x}{4} = 0 + 2\pi k \Rightarrow x = 8\pi k$$

Случай 2: $n = 2k — 1$

$$(-1{)}^{2k}=1\Rightarrow \frac{x}{4}-\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{3}+2\pi k-\pi$$

$$(-1)^{2k} = 1 \Rightarrow \frac{x}{4} — \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{3} + 2\pi k — \pi$$ $$\frac{x}{4}-\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{3}-\pi +2\pi k=-\frac{2\pi }{3}+2\pi k\Rightarrow \frac{x}{4}=-\frac{2\pi }{3}+\frac{\pi }{3}+2\pi k=-\frac{\pi }{3}+2\pi k\Rightarrow$$

$$\frac{x}{4} — \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{3} — \pi + 2\pi k = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k \Rightarrow \frac{x}{4} = -\frac{2\pi}{3} + \frac{\pi}{3} + 2\pi k = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k \Rightarrow x = 4 \cdot \left(-\frac{\pi}{3} + 2\pi k\right) = -\frac{4\pi}{3} + 8\pi k$$

Ответ:

$$\boxed{x = 8\pi k;\quad x = -\frac{4\pi}{3} + 8\pi k}, \quad k \in \mathbb{Z}$$

г) $2\cos\left(\frac{\pi}{4} — 3x\right) = \sqrt{2}$

Шаг 1. Изолируем косинус

$$\cos\left(\frac{\pi}{4} — 3x\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow \cos\left(3x — \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

(используем чётность косинуса: $\cos(-A) = \cos A$)

Шаг 2. Найдём значения, при которых $\cos \theta = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$$\theta = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n,\quad n \in \mathbb{Z}$$

Шаг 3. Приравниваем аргумент

$$3x — \frac{\pi}{4} = \pm\frac{\pi}{4} + 2\pi n$$

Разберём оба случая:

Случай 1:

$$3x — \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n \Rightarrow 3x = 0 + 2\pi n = 2\pi n \Rightarrow x = \frac{2\pi n}{3}$$

Случай 2:

$$3x — \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 2\pi n \Rightarrow 3x = \frac{2\pi}{4} + 2\pi n = \frac{\pi}{2} + 2\pi n \Rightarrow x = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}$$

Ответ:

$$\boxed{x = \frac{2\pi n}{3};\quad x = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}}, \quad n \in \mathbb{Z}$$