ГДЗ 10-11 Класс Номер 18.42 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Решить уравнение:

а)

$$2 \, tg^2 \, 2x + 3 \, tg(\pi + 2x) = 0;$$ $$2 \, tg^2 \, 2x + 3 \, tg \, 2x = 0;$$ $$tg \, 2x \cdot (2 \, tg \, 2x + 3) = 0;$$

Первое уравнение:

$$tg \, 2x = 0;$$ $$2x = arctg \, 0 + \pi n = \pi n;$$ $$x = \frac{\pi n}{2};$$

Второе уравнение:

$$2 \, tg \, 2x + 3 = 0;$$ $$2 \, tg \, 2x = -3;$$ $$tg \, 2x = -\frac{3}{2};$$ $$2x = -arctg \, \frac{3}{2} + \pi n;$$ $$x = -\frac{1}{2} arctg \, \frac{3}{2} + \frac{\pi n}{2};$$

Ответ:

$$\frac{\pi n}{2}; \, -\frac{1}{2} arctg \, \frac{3}{2} + \frac{\pi n}{2}.$$

б)

$$tg^2 \, 3x — 6 \, ctg \left( \frac{\pi}{2} — 3x \right) = 0;$$ $$tg^2 \, 3x — 6 \, tg \, 3x = 0;$$ $$tg \, 3x \cdot (tg \, 3x — 6) = 0;$$

Первое уравнение:

$$tg \, 3x = 0;$$ $$3x = arctg \, 0 + \pi n = \pi n;$$ $$x = \frac{\pi n}{3};$$

Второе уравнение:

$$tg \, 3x — 6 = 0;$$ $$tg \, 3x = 6;$$ $$3x = arctg \, 6 + \pi n;$$ $$x = \frac{1}{3} arctg \, 6 + \frac{\pi n}{3};$$

Ответ:

$$\frac{\pi n}{3};\frac{1}{3}arctg6+\frac{\pi n}{3}\mathrm{.}$$

а)

$$2 \cdot \tg^2(2x) + 3 \cdot \tg(\pi + 2x) = 0$$

Шаг 1: Используем тригонометрическое тождество:

$$\tg(\pi + \alpha) = \tg \alpha$$

Значит:

$$\tg(\pi + 2x) = \tg(2x)$$

Подставим:

$$2 \tg^2(2x) + 3 \tg(2x) = 0$$

Шаг 2: Вынесем $\tg(2x)$ за скобки:

$$\tg(2x) \cdot (2 \tg(2x) + 3) = 0$$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

Первый случай:

$$\tg(2x) = 0$$ $$2x = \tg^{-1}(0) + \pi n = \pi n$$ $$x = \frac{\pi n}{2}$$

Второй случай:

$$2 \tg(2x) + 3 = 0$$ $$\tg(2x) = -\frac{3}{2}$$ $$2x = \tg^{-1}\left(-\frac{3}{2}\right) + \pi n = -\arctg\left(\frac{3}{2}\right) + \pi n$$ $$x = \frac{1}{2} \left(-\arctg\left(\frac{3}{2}\right) + \pi n\right) = -\frac{1}{2} \arctg\left(\frac{3}{2}\right) + \frac{\pi n}{2}$$

Ответ к а):

$$x = \frac{\pi n}{2}; \quad x = -\frac{1}{2} \arctg\left(\frac{3}{2}\right) + \frac{\pi n}{2}$$

б)

$$\tg^2(3x) — 6 \cdot \ctg\left(\frac{\pi}{2} — 3x\right) = 0$$

Шаг 1: Используем тригонометрическое тождество:

$$\ctg\left(\frac{\pi}{2} — \alpha\right) = \tg \alpha$$

Значит:

$$\ctg\left(\frac{\pi}{2} — 3x\right) = \tg(3x)$$

Подставим:

$$\tg^2(3x) — 6 \tg(3x) = 0$$

Шаг 2: Вынесем $\tg(3x)$ за скобки:

$$\tg(3x) \cdot (\tg(3x) — 6) = 0$$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

Первый случай:

$$\tg(3x) = 0$$ $$3x = \tg^{-1}(0) + \pi n = \pi n$$ $$x = \frac{\pi n}{3}$$

Второй случай:

$$\tg(3x) = 6$$ $$3x = \arctg(6) + \pi n$$ $$x = \frac{1}{3} \arctg(6) + \frac{\pi n}{3}$$

Ответ к б):

$$x=\frac{\pi n}{3};x=\frac{1}{3}\mathrm{arctg}(6)+\frac{\pi n}{3}$$