ГДЗ 10-11 Класс Номер 18.45 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

a)

$${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}2x+{\cos }^2(\frac{3\pi }{2}+2x)+2\cos x\cdot tgx=1;$$

б)

$$2{\cos }^{2}x-\sin (x-\frac{\pi }{2})+tgx\cdot tg(x+\frac{\pi }{2})=0$$

Решить уравнение:

a)

$$\sin^2 x + \cos^2 2x + \cos^2\left(\frac{3\pi}{2} + 2x\right) + 2\cos x \cdot tg x = 1;$$ $$\sin^2 x + \cos^2 2x + \sin^2 2x + 2\cos x \cdot \frac{\sin x}{\cos x} = 1;$$ $$\sin^2 x + 1 + 2\sin x = 1;$$ $$\sin^2 x + 2\sin x = 0;$$ $$\sin x \cdot (\sin x + 2) = 0;$$

Первое значение:

$$\sin x = 0;$$ $$x = \pi n;$$

Второе значение:

$$\sin x + 2 = 0;$$ $$\sin x = -2;$$ $$x \in \varnothing$$

Ответ:

$$\pi n.$$

б)

$$2\cos^2 x — \sin\left(x — \frac{\pi}{2}\right) + tg x \cdot tg\left(x + \frac{\pi}{2}\right) = 0;$$ $$2\cos^2 x + \cos x — tg x \cdot ctg x = 0;$$ $$2\cos^2 x + \cos x — 1 = 0;$$

Пусть $y = \cos x$, тогда:

$$2y^2 + y — 1 = 0;$$ $$D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9,$$

тогда:

$$y_1 = \frac{-1 — 3}{2 \cdot 2} = -\frac{4}{4} = -1 \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{-1 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2};$$

Первое значение:

$$\cos x = -1;$$ $$x = \pi + 2\pi n;$$

Второе значение:

$$\cos x = \frac{1}{2};$$ $$x = \pm \arccos \frac{1}{2} + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n;$$

Ответ:

$$\pi +2\pi n;\pm \frac{\pi }{3}+2\pi n\mathrm{.}$$

a)

Уравнение:

$$\sin^2 x + \cos^2 2x + \cos^2\!\left(\tfrac{3\pi}{2} + 2x\right) + 2\cos x \cdot \tg x = 1$$

Шаг 1: Упрощения

• Используем $\cos^2 2x + \sin^2 2x = 1$.
• $\cos^2\!\left(\tfrac{3\pi}{2} + 2x\right) = \sin^2 2x$, поскольку $\cos\left(\tfrac{3\pi}{2} + \alpha\right) = \sin \alpha$ (с учётом знака, но квадрат устраняет минус).

Подставляем:

$$\sin^2 x + \cos^2 2x + \sin^2 2x + 2\cos x \cdot \frac{\sin x}{\cos x} = 1$$ $$\sin^2 x + 1 + 2\sin x = 1$$

Шаг 2: Сокращаем 1 и переносим

$$\sin^2 x + 2\sin x = 0$$

Шаг 3: Факторизация

$$\sin x \cdot (\sin x + 2) = 0$$

Шаг 4: Решения

• Первый множитель: $\sin x = 0$

  $$x = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

• Второй множитель: $\sin x = -2$ — не имеет решений, так как $|\sin x| \le 1$.

Ответ (a):

$$\boxed{x = \pi n}$$

б)

Уравнение:

$$2\cos^2 x — \sin\!\left(x — \tfrac{\pi}{2}\right) + \tg x \cdot \tg\left(x + \tfrac{\pi}{2}\right) = 0$$

Шаг 1: Упрощаем

• $\sin\!\left(x — \tfrac{\pi}{2}\right) = -\cos x$.
• $\tg\left(x + \tfrac{\pi}{2}\right) = -\cot x = -\frac{1}{\tg x}$.

Подставляем:

$$2\cos^2 x + \cos x + \tg x \cdot \left(-\tfrac{1}{\tg x}\right) = 0$$ $$2\cos^2 x + \cos x — 1 = 0$$

Шаг 2: Обозначаем $y = \cos x$

Получаем квадратное:

$$2y^2 + y — 1 = 0$$ $$D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 9$$ $$y_1 = \frac{-1 — 3}{4} = -1, \quad y_2 = \frac{-1 + 3}{4} = \frac{1}{2}$$

Шаг 3: Решения

• Для $y_1 = -1$: $\cos x = -1 \Rightarrow x = \pi + 2\pi n$.
• Для $y_2 = \tfrac{1}{2}$: $\cos x = \tfrac{1}{2} \Rightarrow x = \pm \tfrac{\pi}{3} + 2\pi n$.

Ответ (б):

$$\boxed{x = \pi + 2\pi n;\quad x = \pm \tfrac{\pi}{3} + 2\pi n}$$