ГДЗ 10-11 Класс Номер 18.5 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а)

$$\sin\left(\frac{\pi}{2} + t\right) — \cos(\pi + t) = 1;$$ $$$$б)

$$\sin(\pi + t) + \sin(2\pi — t) — \cos\left(\frac{3\pi}{2} + t\right) + 1{,}5 = 0;$$ $$$$в)

$$\cos\left(\frac{\pi}{2} — t\right) — \sin(\pi + t) = \sqrt{2};$$ $$$$г)

$$\sin (\pi +t)+\cos (\frac{\pi }{2}+t)=\sqrt{3}$$

а)

$$\sin\left(\frac{\pi}{2} + t\right) — \cos(\pi + t) = 1;$$ $$\cos t + \cos t = 1;$$ $$2\cos t = 1;$$ $$\cos t = \frac{1}{2};$$ $$t = \pm \arccos\frac{1}{2} + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n;$$ $$\text{Ответ: } \frac{\pi}{3} + 2\pi n.$$

б)

$$\sin(\pi + t) + \sin(2\pi — t) — \cos\left(\frac{3\pi}{2} + t\right) + 1{,}5 = 0;$$ $$-\sin t — \sin t — \sin t = -1{,}5;$$ $$-3\sin t = -\frac{3}{2};$$ $$\sin t = \frac{1}{2};$$ $$t = (-1)^n \cdot \arcsin\frac{1}{2} + \pi n = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n;$$ $$\text{Ответ: } (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n.$$

в)

$$\cos\left(\frac{\pi}{2} — t\right) — \sin(\pi + t) = \sqrt{2};$$ $$\sin t + \sin t = \sqrt{2};$$ $$2\sin t = \sqrt{2};$$ $$\sin t = \frac{\sqrt{2}}{2};$$ $$t = (-1)^n \cdot \arcsin\frac{\sqrt{2}}{2} + \pi n = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{4} + \pi n;$$ $$\text{Ответ: } (-1)^n \cdot \frac{\pi}{4} + \pi n.$$

г)

$$\sin(\pi + t) + \cos\left(\frac{\pi}{2} + t\right) = \sqrt{3};$$ $$-\sin t — \sin t = \sqrt{3};$$ $$-2\sin t = \sqrt{3};$$ $$\sin t = -\frac{\sqrt{3}}{2};$$ $$t = (-1)^{n+1} \cdot \arcsin\frac{\sqrt{3}}{2} + \pi n = (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{3} + \pi n;$$ $$\text{Ответ: } (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{3} + \pi n.$$

а)

Уравнение:

$$\sin\left(\frac{\pi}{2} + t\right) — \cos(\pi + t) = 1$$

ШАГ 1. Преобразуем каждую функцию

$\sin\left(\frac{\pi}{2} + t\right)$
Формула приведения:

$$\sin\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = \cos x \Rightarrow \sin\left(\frac{\pi}{2} + t\right) = \cos t$$

$\cos(\pi + t)$
Формула:

$$\cos(\pi + x) = -\cos x \Rightarrow \cos(\pi + t) = -\cos t$$

ШАГ 2. Подставим

$$\cos t — (-\cos t) = 1 \Rightarrow \cos t + \cos t = 1 \Rightarrow 2\cos t = 1 \Rightarrow \cos t = \frac{1}{2}$$

ШАГ 3. Решаем $\cos t = \frac{1}{2}$

$\cos t = \frac{1}{2}$ означает, что:

• $t = \pm \arccos\left(\frac{1}{2}\right) + 2\pi n$
• $\arccos\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{3}$

Значит:

$$t = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$$

Можно также записать:

$$\boxed{t = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n}$$

б)

Уравнение:

$$\sin(\pi + t) + \sin(2\pi — t) — \cos\left(\frac{3\pi}{2} + t\right) + 1.5 = 0$$

ШАГ 1. Преобразуем каждую функцию

$\sin(\pi + t)$

$$\sin(\pi + x) = -\sin x \Rightarrow \sin(\pi + t) = -\sin t$$

$\sin(2\pi — t)$

$$\sin(2\pi — x) = -\sin x \Rightarrow \sin(2\pi — t) = -\sin t$$

$\cos\left(\frac{3\pi}{2} + t\right)$
Формула:

$$\cos\left(\frac{3\pi}{2} + x\right) = \sin x \Rightarrow \cos\left(\frac{3\pi}{2} + t\right) = \sin t$$

ШАГ 2. Подставим всё

$$-\sin t-\sin t-\sin t+1.5=0\Rightarrow -3\sin t+1.5=0\Rightarrow$$

$$-\sin t — \sin t — \sin t + 1.5 = 0 \Rightarrow -3\sin t + 1.5 = 0 \Rightarrow -3\sin t = -1.5 \Rightarrow \sin t = \frac{1}{2}$$

ШАГ 3. Решаем $\sin t = \frac{1}{2}$

$$\arcsin\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{6} \Rightarrow t = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n$$

Это общая формула для синуса (получается из графика и симметрии функции).

Ответ:

$$\boxed{t = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n}$$

в)

Уравнение:

$$\cos\left(\frac{\pi}{2} — t\right) — \sin(\pi + t) = \sqrt{2}$$

ШАГ 1. Преобразуем каждую функцию

$\cos\left(\frac{\pi}{2} — t\right)$
Формула:

$$\cos\left(\frac{\pi}{2} — x\right) = \sin x \Rightarrow \cos\left(\frac{\pi}{2} — t\right) = \sin t$$

$\sin(\pi + t)$

$$\sin(\pi + x) = -\sin x \Rightarrow \sin(\pi + t) = -\sin t$$

ШАГ 2. Подставим

$$\sin t — (-\sin t) = \sqrt{2} \Rightarrow \sin t + \sin t = \sqrt{2} \Rightarrow 2\sin t = \sqrt{2} \Rightarrow \sin t = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

ШАГ 3. Решаем $\sin t = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$$\arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\pi}{4} \Rightarrow t = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{4} + \pi n$$

Ответ:

$$\boxed{t = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{4} + \pi n}$$

г)

Уравнение:

$$\sin(\pi + t) + \cos\left(\frac{\pi}{2} + t\right) = \sqrt{3}$$

ШАГ 1. Преобразуем каждую функцию

$\sin(\pi + t)$

$$\sin(\pi + x) = -\sin x \Rightarrow \sin(\pi + t) = -\sin t$$

$\cos\left(\frac{\pi}{2} + t\right)$

$$\cos\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = -\sin x \Rightarrow \cos\left(\frac{\pi}{2} + t\right) = -\sin t$$

ШАГ 2. Подставим

$$-\sin t — \sin t = \sqrt{3} \Rightarrow -2\sin t = \sqrt{3} \Rightarrow \sin t = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$

ШАГ 3. Решаем $\sin t = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

$$\arcsin \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=\frac{\pi }{3}\Rightarrow \sin t=-\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow t=-\frac{\pi }{3}+2\pi n$$

$$\arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\pi}{3} \Rightarrow \sin t = -\frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow t = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n \quad \text{и} \quad t = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n$$

Но с помощью универсальной формулы:

$$t = (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{3} + \pi n$$

Ответ:

$$\boxed{t = (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{3} + \pi n}$$