ГДЗ 10-11 Класс Номер 18.7 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) $6 \cos^2 x + \cos x — 1 = 0$;

б) $2 \cos^2 3x — 5 \cos 3x — 3 = 0$;

в) $2 \cos^2 x — \cos x — 3 = 0$;

г) $2 \cos^2 \dfrac{x}{3} + 3 \cos \dfrac{x}{3} — 2 = 0$

Решить уравнение:

а) $6 \cos^2 x + \cos x — 1 = 0$;
Пусть $y = \cos x$, тогда:
$6y^2 + y — 1 = 0$;
$D = 1^2 + 4 \cdot 6 = 1 + 24 = 25$, тогда:
$y_1 = \dfrac{-1 — 5}{2 \cdot 6} = -\dfrac{6}{12} = -\dfrac{1}{2}$ и $y_2 = \dfrac{-1 + 5}{2 \cdot 6} = \dfrac{4}{12} = \dfrac{1}{3}$.

Первое значение:
$\cos x = -\dfrac{1}{2}$;
$x = \pm \left(\pi — \arccos \dfrac{1}{2}\right) + 2\pi n = \pm \dfrac{2\pi}{3} + 2\pi n$;

Второе значение:
$\cos x = \dfrac{1}{3}$;
$x = \pm \arccos \dfrac{1}{3} + 2\pi n$;

Ответ: $\pm \dfrac{2\pi}{3} + 2\pi n; \pm \arccos \dfrac{1}{3} + 2\pi n$.

б) $2 \cos^2 3x — 5 \cos 3x — 3 = 0$;
Пусть $y = \cos 3x$, тогда:
$2y^2 — 5y — 3 = 0$;
$D = 5^2 + 4 \cdot 2 \cdot 3 = 25 + 24 = 49$, тогда:
$y_1 = \dfrac{5 — 7}{2 \cdot 2} = -\dfrac{2}{4} = -\dfrac{1}{2}$ и $y_2 = \dfrac{5 + 7}{2 \cdot 2} = \dfrac{12}{4} = 3$;

Первое значение:
$\cos 3x = -\dfrac{1}{2}$;
$3x = \pm \left(\pi — \arccos \dfrac{1}{2}\right) + 2\pi n = \pm \dfrac{2\pi}{3} + 2\pi n$;
$x = \pm \dfrac{2\pi}{9} + \dfrac{2\pi n}{3}$;

Второе значение:
$\cos 3x = 3 > 1$;
$x \in \varnothing$;

Ответ: $\pm \dfrac{2\pi}{9} + \dfrac{2\pi n}{3}$.

в) $2 \cos^2 x — \cos x — 3 = 0$;
Пусть $y = \cos x$, тогда:
$2y^2 — y — 3 = 0$;
$D = 1^2 + 4 \cdot 2 \cdot 3 = 1 + 24 = 25$, тогда:
$y_1 = \dfrac{1 — 5}{2 \cdot 2} = -\dfrac{4}{4} = -1$ и $y_2 = \dfrac{1 + 5}{2 \cdot 2} = \dfrac{6}{4} = \dfrac{3}{2}$;

Первое значение:
$\cos x = -1$;
$x = \pi + 2\pi n$;

Второе значение:
$\cos x = \dfrac{3}{2} > 1$;
$x \in \varnothing$;

Ответ: $\pi + 2\pi n$.

г) $2 \cos^2 \dfrac{x}{3} + 3 \cos \dfrac{x}{3} — 2 = 0$;
Пусть $y = \cos \dfrac{x}{3}$, тогда:
$2y^2 + 3y — 2 = 0$;
$D = 3^2 + 4 \cdot 2 \cdot 2 = 9 + 16 = 25$, тогда:
$y_1 = \dfrac{-3 — 5}{2 \cdot 2} = -\dfrac{8}{4} = -2$ и $y_2 = \dfrac{-3 + 5}{2 \cdot 2} = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}$;

Первое значение:
$\cos \dfrac{x}{3} = -2 < -1$;
$x \in \varnothing$;

Второе значение:
$\cos \dfrac{x}{3} = \dfrac{1}{2}$;
$\dfrac{x}{3} = \pm \arccos \dfrac{1}{2} + 2\pi n = \pm \dfrac{\pi}{3} + 2\pi n$;
$x = \pm \pi + 6\pi n$;

Ответ: $\pm \pi + 6\pi n$.

а) $6 \cos^2 x + \cos x — 1 = 0$

Шаг 1. Замена переменной:

Пусть:

$$y = \cos x$$

Тогда уравнение становится:

$$6y^2 + y — 1 = 0$$

Шаг 2. Решим квадратное уравнение:

Находим дискриминант:

$$D = b^2 — 4ac = 1^2 — 4 \cdot 6 \cdot (-1) = 1 + 24 = 25$$

Теперь найдём корни по формуле:

$$y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$ $$y_1 = \frac{-1 — 5}{12} = \frac{-6}{12} = -\frac{1}{2}, \quad y_2 = \frac{-1 + 5}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$$

Шаг 3. Возвращаемся к переменной $\cos x$

Первое значение:

$$\cos x = -\frac{1}{2}$$

Из таблицы значений:

$$\arccos\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{3} \Rightarrow \cos x = -\frac{1}{2} \Rightarrow x = \pm \left(\pi — \frac{\pi}{3}\right) + 2\pi n = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$$

Второе значение:

$$\cos x = \frac{1}{3} \Rightarrow x = \pm \arccos\left(\frac{1}{3}\right) + 2\pi n$$

Это значение не табличное, но формула та же:

$$x = \pm \arccos\left(\frac{1}{3}\right) + 2\pi n$$

Ответ:

$$x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n; \quad \pm \arccos\left(\frac{1}{3}\right) + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

б) $2 \cos^2 3x — 5 \cos 3x — 3 = 0$

Шаг 1. Замена переменной:

Пусть:

$$y = \cos 3x \Rightarrow 2y^2 — 5y — 3 = 0$$

Шаг 2. Решим квадратное уравнение:

$$D = (-5)^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49$$ $$y_1 = \frac{5 — 7}{4} = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}, \quad y_2 = \frac{5 + 7}{4} = \frac{12}{4} = 3$$

Шаг 3. Возвращаемся к переменной $\cos 3x$

Первое значение:

$$\cos 3x = -\frac{1}{2} \Rightarrow 3x = \pm \left(\pi — \arccos\left(\frac{1}{2}\right)\right) + 2\pi n = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$$

Делим на 3:

$$x = \pm \frac{2\pi}{9} + \frac{2\pi n}{3}$$

Второе значение:

$$\cos 3x = 3 > 1 \Rightarrow \text{нет решений}$$

Ответ:

$$x = \pm \frac{2\pi}{9} + \frac{2\pi n}{3}, \quad n \in \mathbb{Z}$$

в) $2 \cos^2 x — \cos x — 3 = 0$

Шаг 1. Замена переменной:

$$y = \cos x \Rightarrow 2y^2 — y — 3 = 0$$

Шаг 2. Решим квадратное уравнение:

$$D = (-1)^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25$$ $$y_1 = \frac{1 — 5}{4} = \frac{-4}{4} = -1, \quad y_2 = \frac{1 + 5}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$$

Шаг 3. Возвращаемся к $\cos x$

Первое значение:

$$\cos x = -1 \Rightarrow x = \pi + 2\pi n$$

Второе значение:

$$\cos x = \frac{3}{2} > 1 \Rightarrow \text{нет решений}$$

Ответ:

$$x = \pi + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

г) $2 \cos^2 \frac{x}{3} + 3 \cos \frac{x}{3} — 2 = 0$

Шаг 1. Замена переменной:

$$y = \cos\left(\frac{x}{3}\right) \Rightarrow 2y^2 + 3y — 2 = 0$$

Шаг 2. Решим квадратное уравнение:

$$D = 3^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$$ $$y_1 = \frac{-3 — 5}{4} = -\frac{8}{4} = -2, \quad y_2 = \frac{-3 + 5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$

Шаг 3. Возвращаемся к $\cos \dfrac{x}{3}$

Первое значение:

$$\cos \frac{x}{3} = -2 < -1 \Rightarrow \text{нет решений}$$

Второе значение:

$$\cos \frac{x}{3} = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{x}{3} = \pm \arccos\left(\frac{1}{2}\right) + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n \Rightarrow x = \pm \pi + 6\pi n$$

Ответ:

$$x = \pm \pi + 6\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$