ГДЗ 10-11 Класс Номер 18.8 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) $2 \sin^2 x + 3 \cos x = 0$;

б) $8 \sin^2 2x + \cos 2x + 1 = 0$;

в) $5 \cos^2 x + 6 \sin x — 6 = 0$;

г) $4 \sin 3x + \cos^2 3x = 4$

Решить уравнение:

а) $2 \sin^2 x + 3 \cos x = 0$;
$2 — 2 \cos^2 x + 3 \cos x = 0$;
$2 \cos^2 x — 3 \cos x — 2 = 0$;

Пусть $y = \cos x$, тогда:
$2y^2 — 3y — 2 = 0$;
$D = 3^2 + 4 \cdot 2 \cdot 2 = 9 + 16 = 25$, тогда:
$y_1 = \frac{3 — 5}{2 \cdot 2} = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}$ и $y_2 = \frac{3 + 5}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2$;

Первое значение:
$\cos x = -\frac{1}{2}$;
$x = \pm \left( \pi — \arccos \frac{1}{2} \right) + 2\pi n = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$;

Второе значение:
$\cos x = 2 > 1$;
$x \in \varnothing$;

Ответ: $\pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$.

б) $8 \sin^2 2x + \cos 2x + 1 = 0$;
$8 — 8 \cos^2 2x + \cos 2x + 1 = 0$;
$8 \cos^2 2x — \cos 2x — 9 = 0$;

Пусть $y = \cos 2x$, тогда:
$8y^2 — y — 9 = 0$;
$D = 1^2 + 4 \cdot 8 \cdot 9 = 1 + 288 = 289$, тогда:
$y_1 = \frac{1 — 17}{2 \cdot 8} = -\frac{16}{16} = -1$ и $y_2 = \frac{1 + 17}{2 \cdot 8} = \frac{18}{16} = \frac{9}{8}$;

Первое значение:
$\cos 2x = -1$;
$2x = \pi + 2\pi n$;
$x = \frac{\pi}{2} + \pi n$;

Второе значение:
$\cos 2x = \frac{9}{8} > 1$;
$x \in \varnothing$;

Ответ: $\frac{\pi}{2} + \pi n$.

в) $5 \cos^2 x + 6 \sin x — 6 = 0$;
$5 — 5 \sin^2 x + 6 \sin x — 6 = 0$;
$5 \sin^2 x — 6 \sin x + 1 = 0$;

Пусть $y = \sin x$, тогда:
$5y^2 — 6y + 1 = 0$;
$D = 6^2 — 4 \cdot 5 \cdot 1 = 36 — 20 = 16$, тогда:
$y_1 = \frac{6 — 4}{2 \cdot 5} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$ и $y_2 = \frac{6 + 4}{2 \cdot 5} = \frac{10}{10} = 1$;

Первое значение:
$\sin x = \frac{1}{5}$;
$x = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{1}{5} + \pi n$;

Второе значение:
$\sin x = 1$;
$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$;

Ответ: $(-1)^n \cdot \arcsin \frac{1}{5} + \pi n; \frac{\pi}{2} + 2\pi n$.

г) $4 \sin 3x + \cos^2 3x = 4$;
$4 \sin 3x + 1 — \sin^2 3x — 4 = 0$;
$\sin^2 3x — 4 \sin 3x + 3 = 0$;

Пусть $y = \sin 3x$, тогда:
$y^2 — 4y + 3 = 0$;
$D = 4^2 — 4 \cdot 3 = 16 — 12 = 4$, тогда:
$y_1 = \frac{4 — 2}{2} = 1$ и $y_2 = \frac{4 + 2}{2} = 3$;

Первое значение:
$\sin 3x = 1$;
$3x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$;
$x = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}$;

Второе значение:
$\sin 3x = 3 > 1$;
$x \in \varnothing$;

Ответ: $\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}$.

а) $2 \sin^2 x + 3 \cos x = 0$

Шаг 1. Используем основное тригонометрическое тождество

$$\sin^2 x = 1 — \cos^2 x$$

Подставим в уравнение:

$$2(1 — \cos^2 x) + 3 \cos x = 0 \Rightarrow 2 — 2 \cos^2 x + 3 \cos x = 0$$

Шаг 2. Приводим к стандартному квадратному виду

$$-2 \cos^2 x + 3 \cos x + 2 = 0$$

Умножим на -1:

$$2 \cos^2 x — 3 \cos x — 2 = 0$$

Шаг 3. Вводим замену

Пусть:

$$y = \cos x \Rightarrow 2y^2 — 3y — 2 = 0$$

Шаг 4. Решаем квадратное уравнение

$$D = (-3)^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$$ $$y_1 = \frac{3 — 5}{4} = -\frac{1}{2}, \quad y_2 = \frac{3 + 5}{4} = 2$$

Шаг 5. Возвращаемся к переменной $\cos x$

1-е значение:

$$\cos x = -\frac{1}{2} \Rightarrow \arccos\left(-\frac{1}{2}\right) = \pi — \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3} \Rightarrow x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$$

2-е значение:

$$\cos x = 2 > 1 \Rightarrow \text{нет решений}$$

Ответ:

$$x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

б) $8 \sin^2 2x + \cos 2x + 1 = 0$

Шаг 1. Подставим $\sin^2 2x = 1 — \cos^2 2x$

$$8(1-{\cos }^{2}2x)+\cos 2x+1=0\Rightarrow 8-8{\cos }^{2}2x+\cos 2x+1=0\Rightarrow$$

$$8(1 — \cos^2 2x) + \cos 2x + 1 = 0 \Rightarrow 8 — 8 \cos^2 2x + \cos 2x + 1 = 0 \Rightarrow 8 \cos^2 2x — \cos 2x — 9 = 0$$

Шаг 2. Замена:

$$y = \cos 2x \Rightarrow 8y^2 — y — 9 = 0$$

Шаг 3. Решаем квадратное уравнение

$$D = (-1)^2 — 4 \cdot 8 \cdot (-9) = 1 + 288 = 289$$ $$y_1 = \frac{1 — 17}{16} = -1, \quad y_2 = \frac{1 + 17}{16} = \frac{18}{16} = \frac{9}{8}$$

Шаг 4. Возвращаемся к переменной $\cos 2x$

1-е значение:

$$\cos 2x = -1 \Rightarrow 2x = \pi + 2\pi n \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + \pi n$$

2-е значение:

$$\cos 2x = \frac{9}{8} > 1 \Rightarrow \text{нет решений}$$

Ответ:

$$x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

в) $5 \cos^2 x + 6 \sin x — 6 = 0$

Шаг 1. Замена по тождеству:

$${\cos }^{2}x=1-{\sin }^{2}x\Rightarrow 5(1-{\sin }^{2}x)+6\sin x-6=0\Rightarrow$$

$$\cos^2 x = 1 — \sin^2 x \Rightarrow 5(1 — \sin^2 x) + 6 \sin x — 6 = 0 \Rightarrow 5 — 5 \sin^2 x + 6 \sin x — 6 = 0 \Rightarrow -5 \sin^2 x + 6 \sin x — 1 = 0$$

Умножим на -1:

$$5 \sin^2 x — 6 \sin x + 1 = 0$$

Шаг 2. Замена:

$$y = \sin x \Rightarrow 5y^2 — 6y + 1 = 0$$

Шаг 3. Решаем квадратное уравнение

$$D = (-6)^2 — 4 \cdot 5 \cdot 1 = 36 — 20 = 16$$ $$y_1 = \frac{6 — 4}{10} = \frac{1}{5}, \quad y_2 = \frac{6 + 4}{10} = 1$$

Шаг 4. Возвращаемся к переменной $\sin x$

1-е значение:

$$\sin x = \frac{1}{5} \Rightarrow x = (-1)^n \arcsin\left(\frac{1}{5}\right) + \pi n$$

2-е значение:

$$\sin x = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$$

Ответ:

$$x = (-1)^n \arcsin\left(\frac{1}{5}\right) + \pi n; \quad x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

г) $4 \sin 3x + \cos^2 3x = 4$

Шаг 1. Подставим $\cos^2 3x = 1 — \sin^2 3x$:

$$4 \sin 3x + 1 — \sin^2 3x = 4 \Rightarrow -\sin^2 3x + 4 \sin 3x — 3 = 0$$

Умножим на -1:

$$\sin^2 3x — 4 \sin 3x + 3 = 0$$

Шаг 2. Замена:

$$y = \sin 3x \Rightarrow y^2 — 4y + 3 = 0$$

Шаг 3. Решаем квадратное уравнение:

$$D = 16 — 12 = 4 \Rightarrow y_1 = \frac{4 — 2}{2} = 1, \quad y_2 = \frac{4 + 2}{2} = 3$$

Шаг 4. Возвращаемся к $\sin 3x$

1-е значение:

$$\sin 3x = 1 \Rightarrow 3x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n \Rightarrow x = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}$$

2-е значение:

$$\sin 3x = 3 > 1 \Rightarrow \text{нет решений}$$

Ответ:

$$x = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}, \quad n \in \mathbb{Z}$$