ГДЗ 10-11 Класс Номер 18.9 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) $3 \, tg^2 x + 2 \, tg x — 1 = 0$;

б) $ctg^2 2x — 6 \, ctg 2x + 5 = 0$;

в) $2 \, tg^2 x + 3 \, tg x — 2 = 0$;

г) $7 \, ctg^2 \dfrac{x}{2} + 2 \, ctg \dfrac{x}{2} = 5$

Решить уравнение:

а) $3 \, tg^2 x + 2 \, tg x — 1 = 0$;

Пусть $y = tg x$, тогда:
$3y^2 + 2y — 1 = 0$;
$D = 2^2 + 4 \cdot 3 = 4 + 12 = 16$, тогда:
$y_1 = \dfrac{-2 — 4}{2 \cdot 3} = -\dfrac{6}{6} = -1$;
$y_2 = \dfrac{-2 + 4}{2 \cdot 3} = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$;

Первое значение:
$tg x = -1$;
$x = -arctg 1 + \pi n = -\dfrac{\pi}{4} + \pi n$;

Второе значение:
$tg x = \dfrac{1}{3}$;
$x = arctg \dfrac{1}{3} + \pi n$;

Ответ: $-\dfrac{\pi}{4} + \pi n; \, arctg \dfrac{1}{3} + \pi n$.

б) $ctg^2 2x — 6 \, ctg 2x + 5 = 0$;

Пусть $y = ctg 2x$, тогда:
$y^2 — 6y + 5 = 0$;
$D = 6^2 — 4 \cdot 5 = 36 — 20 = 16$, тогда:
$y_1 = \dfrac{6 — 4}{2} = 1$ и $y_2 = \dfrac{6 + 4}{2} = 5$;

Первое значение:
$ctg 2x = 1$;
$2x = arcctg 1 + \pi n = \dfrac{\pi}{4} + \pi n$;
$x = \dfrac{\pi}{8} + \dfrac{\pi n}{2}$;

Второе значение:
$ctg 2x = 5$;
$2x = arcctg 5 + \pi n$;
$x = \dfrac{1}{2} arcctg 5 + \dfrac{\pi n}{2}$;

Ответ: $\dfrac{\pi}{8} + \dfrac{\pi n}{2}; \, \dfrac{1}{2} arcctg 5 + \dfrac{\pi n}{2}$.

в) $2 \, tg^2 x + 3 \, tg x — 2 = 0$;

Пусть $y = tg x$, тогда:
$2y^2 + 3y — 2 = 0$;
$D = 3^2 + 4 \cdot 2 \cdot 2 = 9 + 16 = 25$, тогда:
$y_1 = \dfrac{-3 — 5}{2 \cdot 2} = -\dfrac{8}{4} = -2$;
$y_2 = \dfrac{-3 + 5}{2 \cdot 2} = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}$;

Первое значение:
$tg x = -2$;
$x = -arctg 2 + \pi n$;

Второе значение:
$tg x = \dfrac{1}{2}$;
$x = arctg \dfrac{1}{2} + \pi n$;

Ответ: $-arctg 2 + \pi n; \, arctg \dfrac{1}{2} + \pi n$.

г) $7 \, ctg^2 \dfrac{x}{2} + 2 \, ctg \dfrac{x}{2} = 5$;

Пусть $y = ctg \dfrac{x}{2}$, тогда:
$7y^2 + 2y — 5 = 0$;
$D = 2^2 + 4 \cdot 7 \cdot 5 = 4 + 140 = 144$, тогда:
$y_1 = \dfrac{-2 — 12}{2 \cdot 7} = -\dfrac{14}{14} = -1$;
$y_2 = \dfrac{-2 + 12}{2 \cdot 7} = \dfrac{10}{14} = \dfrac{5}{7}$;

Первое значение:
$ctg \dfrac{x}{2} = -1$;
$\dfrac{x}{2} = \pi — arcctg 1 + \pi n = \dfrac{3\pi}{4} + \pi n$;
$x = \dfrac{3\pi}{2} + 2\pi n$;

Второе значение:
$ctg \dfrac{x}{2} = \dfrac{5}{7}$;
$\dfrac{x}{2} = arcctg \dfrac{5}{7} + \pi n$;
$x = 2 \, arcctg \dfrac{5}{7} + 2\pi n$;

Ответ: $\dfrac{3\pi}{2} + 2\pi n; \, 2 \, arcctg \dfrac{5}{7} + 2\pi n$.

а) $3 \, tg^2 x + 2 \, tg x — 1 = 0$

Шаг 1. Замена переменной

Пусть

$$y = tg x \Rightarrow 3y^2 + 2y — 1 = 0$$

Шаг 2. Решим квадратное уравнение

$$D = 2^2 — 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16$$ $$y_1 = \frac{-2 — \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{-6}{6} = -1$$ $$y_2 = \frac{-2 + \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$$

Шаг 3. Возвращаемся к $tg x$

1-е значение:

$$tg x = -1 \Rightarrow x = arctg(-1) + \pi n = -\frac{\pi}{4} + \pi n$$

2-е значение:

$$tg x = \frac{2}{3} \Rightarrow x = arctg\left(\frac{2}{3}\right) + \pi n$$

Ответ:

$$x = -\frac{\pi}{4} + \pi n; \quad arctg\left(\frac{2}{3}\right) + \pi n$$

б) $ctg^2 2x — 6 \, ctg 2x + 5 = 0$

Шаг 1. Замена переменной

Пусть

$$y = ctg 2x \Rightarrow y^2 — 6y + 5 = 0$$

Шаг 2. Решаем квадратное уравнение

$$D = 36 — 20 = 16$$ $$y_1 = \frac{6 — \sqrt{16}}{2} = \frac{2}{2} = 1$$ $$y_2 = \frac{6 + \sqrt{16}}{2} = \frac{10}{2} = 5$$

Шаг 3. Возвращаемся к $ctg 2x$

1-е значение:

$$ctg 2x = 1 \Rightarrow 2x = arcctg(1) + \pi n = \frac{\pi}{4} + \pi n \Rightarrow x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}$$

2-е значение:

$$ctg 2x = 5 \Rightarrow 2x = arcctg(5) + \pi n \Rightarrow x = \frac{1}{2} arcctg(5) + \frac{\pi n}{2}$$

Ответ:

$$x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}; \quad \frac{1}{2} arcctg(5) + \frac{\pi n}{2}$$

в) $2 \, tg^2 x + 3 \, tg x — 2 = 0$

Шаг 1. Замена переменной

$$y = tg x \Rightarrow 2y^2 + 3y — 2 = 0$$

Шаг 2. Дискриминант

$$D = 3^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$$ $$y_1 = \frac{-3 — 5}{4} = \frac{-8}{4} = -2, \quad y_2 = \frac{-3 + 5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$

Шаг 3. Возвращаемся к $tg x$

1-е значение:

$$tg x = -2 \Rightarrow x = arctg(-2) + \pi n = -arctg(2) + \pi n$$

2-е значение:

$$tg x = \frac{1}{2} \Rightarrow x = arctg\left(\frac{1}{2}\right) + \pi n$$

Ответ:

$$x = -arctg(2) + \pi n; \quad arctg\left(\frac{1}{2}\right) + \pi n$$

г) $7 \, ctg^2 \dfrac{x}{2} + 2 \, ctg \dfrac{x}{2} = 5$

Шаг 1. Приводим к стандартному виду

$$7 \, ctg^2 \frac{x}{2} + 2 \, ctg \frac{x}{2} — 5 = 0$$

Пусть

$$y = ctg \frac{x}{2} \Rightarrow 7y^2 + 2y — 5 = 0$$

Шаг 2. Дискриминант

$$D = 2^2 — 4 \cdot 7 \cdot (-5) = 4 + 140 = 144$$ $$y_1 = \frac{-2 — 12}{2 \cdot 7} = -\frac{14}{14} = -1, \quad y_2 = \frac{-2 + 12}{2 \cdot 7} = \frac{10}{14} = \frac{5}{7}$$

Шаг 3. Возвращаемся к $ctg \frac{x}{2}$

1-е значение:

$$ctg \frac{x}{2} = -1 \Rightarrow \frac{x}{2} = \pi — arcctg(1) + \pi n = \frac{3\pi}{4} + \pi n \Rightarrow x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n$$

2-е значение:

$$ctg \frac{x}{2} = \frac{5}{7} \Rightarrow \frac{x}{2} = arcctg\left(\frac{5}{7}\right) + \pi n \Rightarrow x = 2 \cdot arcctg\left(\frac{5}{7}\right) + 2\pi n$$

Ответ:

$$x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n; \quad 2 \cdot arcctg\left(\frac{5}{7}\right) + 2\pi n$$