ГДЗ 10-11 Класс Номер 19.1 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Представив 105º как сумму 60º + 45º, вычислите:

a) sin 105º;

б) cos 105º.

Представив 105° как сумму 60° + 45°, вычислить:

а) sin 105° = sin(60° + 45°) = sin 60° · cos 45° + cos 60° · sin 45° =
= (𝑠in 60° · cos 45° + cos 60° · sin 45° = $\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}=\frac{1}{4}(\sqrt{6}+\sqrt{2})$);

Ответ: $\frac{1}{4}(\sqrt{6}+\sqrt{2})$.

б) cos 105° = cos(60° + 45°) = cos 60° · cos 45° − sin 60° · sin 45° =
= (cos 60° · cos 45° − sin 60° · sin 45° = $\frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}=\frac{1}{4}(\sqrt{2}-\sqrt{6})$);

Ответ: $\frac{1}{4}(\sqrt{2}-\sqrt{6})$.

а) $\sin {105}^{\circ }$

Шаг 1. Представим 105° как сумму двух известных углов:

$${105}^{\circ }={60}^{\circ }+{45}^{\circ }$$

Шаг 2. Применим формулу синуса суммы:

$$\sin (a+b)=\sin a\cdot \cos b+\cos a\cdot \sin b$$

Подставим:

$$\sin ({60}^{\circ }+{45}^{\circ })=\sin {60}^{\circ }\cdot \cos {45}^{\circ }+\cos {60}^{\circ }\cdot \sin {45}^{\circ }$$

Шаг 3. Подставим точные значения тригонометрических функций:

• $\sin {60}^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$
• $\cos {45}^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}$
• $\cos {60}^{\circ }=\frac{1}{2}$
• $\sin {45}^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}$

Подставляем:

$$\sin {105}^{\circ }=(\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2})+(\frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2})$$

Шаг 4. Умножим дроби:

• $\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{6}}{4}$
• $\frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{4}$

Теперь складываем:

$$\sin {105}^{\circ }=\frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{\sqrt{2}}{4}$$

Шаг 5. Приводим к общему знаменателю:

Они уже имеют одинаковый знаменатель:

$$\sin {105}^{\circ }=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$$

Шаг 6. Запишем в виде с общей дробью:

$$\sin {105}^{\circ }=\frac{1}{4}(\sqrt{6}+\sqrt{2})$$

Ответ а):

$$\boxed{{\displaystyle \sin {105}^{\circ }=\frac{1}{4}(\sqrt{6}+\sqrt{2})}}$$

б) $\cos {105}^{\circ }$

Шаг 1. Представим 105° как сумму двух известных углов:

$${105}^{\circ }={60}^{\circ }+{45}^{\circ }$$

Шаг 2. Применим формулу косинуса суммы:

$$\cos (a+b)=\cos a\cdot \cos b-\sin a\cdot \sin b$$

Подставим:

$$\cos ({60}^{\circ }+{45}^{\circ })=\cos {60}^{\circ }\cdot \cos {45}^{\circ }-\sin {60}^{\circ }\cdot \sin {45}^{\circ }$$

Шаг 3. Подставим точные значения тригонометрических функций:

• $\cos {60}^{\circ }=\frac{1}{2}$
• $\cos {45}^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}$
• $\sin {60}^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$
• $\sin {45}^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}$

Подставляем:

$$\cos {105}^{\circ }=(\frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2})-(\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2})$$

Шаг 4. Умножим дроби:

• $\frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{4}$
• $\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{6}}{4}$

Теперь вычитаем:

$$\cos {105}^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{4}-\frac{\sqrt{6}}{4}$$

Шаг 5. Приводим к общему знаменателю:

Они уже имеют одинаковый знаменатель:

$$\cos {105}^{\circ }=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}$$

Шаг 6. Запишем в виде с общей дробью:

$$\cos {105}^{\circ }=\frac{1}{4}(\sqrt{2}-\sqrt{6})$$

Ответ б):

$$\boxed{{\displaystyle \cos {105}^{\circ }=\frac{1}{4}(\sqrt{2}-\sqrt{6})}}$$