ГДЗ 10-11 Класс Номер 19.11 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найдите значение выражения:

а) $$$\cos \frac{5\pi }{8}\cdot \cos \frac{3\pi }{8}+\sin \frac{5\pi }{8}\cdot \sin \frac{3\pi }{8}$

б) $$$\sin \frac{2\pi }{15}\cdot \cos \frac{\pi }{5}+\cos \frac{2\pi }{15}\cdot \sin \frac{\pi }{5}$

в) $$$\cos \frac{\pi }{12}\cdot \cos \frac{\pi }{4}-\sin \frac{\pi }{12}\cdot \sin \frac{\pi }{4}$

г) $$$\sin \frac{\pi }{12}\cdot \cos \frac{\pi }{4}-\cos \frac{\pi }{12}\cdot \sin \frac{\pi }{4}$

Найти значение выражения:

а) $$$\cos \frac{5\pi}{8} \cdot \cos \frac{3\pi}{8} + \sin \frac{5\pi}{8} \cdot \sin \frac{3\pi}{8} = \cos \left( \frac{5\pi}{8} — \frac{3\pi}{8} \right) = \cos \frac{2\pi}{8} = \cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$;

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

б) $$$\sin \frac{2\pi}{15} \cdot \cos \frac{\pi}{5} + \cos \frac{2\pi}{15} \cdot \sin \frac{\pi}{5} = \sin \left( \frac{2\pi}{15} + \frac{\pi}{5} \right) = \sin \frac{5\pi}{15} = \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$;

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

в) $$$\cos \frac{\pi}{12} \cdot \cos \frac{\pi}{4} — \sin \frac{\pi}{12} \cdot \sin \frac{\pi}{4} = \cos \left( \frac{\pi}{12} + \frac{\pi}{4} \right) = \cos \frac{4\pi}{12} = \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$;

Ответ: $\frac{1}{2}$.

г) $$$\sin \frac{\pi}{12} \cdot \cos \frac{\pi}{4} — \cos \frac{\pi}{12} \cdot \sin \frac{\pi}{4} = \sin \left( \frac{\pi}{12} — \frac{\pi}{4} \right) = \sin \left( -\frac{2\pi}{12} \right) = -\sin \frac{\pi}{6} = -\frac{1}{2}$;

Ответ: $-\frac{1}{2}$.

а)

$$\cos \frac{5\pi}{8} \cdot \cos \frac{3\pi}{8} + \sin \frac{5\pi}{8} \cdot \sin \frac{3\pi}{8}$$

Шаг 1: Узнаем формулу

Это выражение соответствует формуле косинуса разности углов:

$$\cos(A — B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$$

Шаг 2: Подставим значения

Здесь:

• $A = \frac{5\pi}{8}$
• $B = \frac{3\pi}{8}$

$$\cos \frac{5\pi}{8} \cdot \cos \frac{3\pi}{8} + \sin \frac{5\pi}{8} \cdot \sin \frac{3\pi}{8} = \cos\left( \frac{5\pi}{8} — \frac{3\pi}{8} \right) = \cos\left( \frac{2\pi}{8} \right) = \cos\left( \frac{\pi}{4} \right)$$

Шаг 3: Подставим табличное значение

$$\cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$

б)

$$\sin \frac{2\pi}{15} \cdot \cos \frac{\pi}{5} + \cos \frac{2\pi}{15} \cdot \sin \frac{\pi}{5}$$

Шаг 1: Узнаем формулу

Это соответствует формуле синуса суммы углов:

$$\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$$

Шаг 2: Подставим значения

Здесь:

• $A = \frac{2\pi}{15}$
• $B = \frac{\pi}{5} = \frac{3\pi}{15}$

$$\sin \frac{2\pi}{15} \cdot \cos \frac{3\pi}{15} + \cos \frac{2\pi}{15} \cdot \sin \frac{3\pi}{15} = \sin\left( \frac{2\pi}{15} + \frac{3\pi}{15} \right) = \sin\left( \frac{5\pi}{15} \right) = \sin\left( \frac{\pi}{3} \right)$$

Шаг 3: Подставим табличное значение

$$\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

в)

$$\cos \frac{\pi}{12} \cdot \cos \frac{\pi}{4} — \sin \frac{\pi}{12} \cdot \sin \frac{\pi}{4}$$

Шаг 1: Узнаем формулу

Это — формула косинуса суммы углов:

$$\cos(A + B) = \cos A \cos B — \sin A \sin B$$

Шаг 2: Подставим значения

Здесь:

• $A = \frac{\pi}{12}$
• $B = \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{12}$

$$\cos \frac{\pi}{12} \cdot \cos \frac{3\pi}{12} — \sin \frac{\pi}{12} \cdot \sin \frac{3\pi}{12} = \cos\left( \frac{\pi}{12} + \frac{3\pi}{12} \right) = \cos\left( \frac{4\pi}{12} \right) = \cos\left( \frac{\pi}{3} \right)$$

Шаг 3: Подставим табличное значение

$$\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$$

Ответ: $\frac{1}{2}$

г)

$$\sin \frac{\pi}{12} \cdot \cos \frac{\pi}{4} — \cos \frac{\pi}{12} \cdot \sin \frac{\pi}{4}$$

Шаг 1: Узнаем формулу

Это — формула синуса разности углов:

$$\sin(A — B) = \sin A \cos B — \cos A \sin B$$

Шаг 2: Подставим значения

Здесь:

• $A = \frac{\pi}{12}$
• $B = \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{12}$

$$\sin \frac{\pi}{12} \cdot \cos \frac{3\pi}{12} — \cos \frac{\pi}{12} \cdot \sin \frac{3\pi}{12} = \sin\left( \frac{\pi}{12} — \frac{3\pi}{12} \right) = \sin\left( -\frac{2\pi}{12} \right) = \sin\left( -\frac{\pi}{6} \right)$$

Шаг 3: Учтём нечётность функции синуса

$$\sin(-x) = -\sin(x) \Rightarrow \sin\left( -\frac{\pi}{6} \right) = -\sin\left( \frac{\pi}{6} \right)$$

Шаг 4: Подставим табличное значение

$$\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} \Rightarrow -\sin \frac{\pi}{6} = -\frac{1}{2}$$

Ответ: $-\frac{1}{2}$