ГДЗ 10-11 Класс Номер 19.12 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Вычислить значение:

а) $$$\sin 77^\circ \cdot \cos 17^\circ — \sin 13^\circ \cdot \cos 73^\circ =$
$= \sin(90^\circ — 13^\circ) \cdot \cos 17^\circ — \sin 13^\circ \cdot \cos(90^\circ — 17^\circ) =$
$= \cos 13^\circ \cdot \cos 17^\circ — \sin 13^\circ \cdot \sin 17^\circ =$
$= \cos(13^\circ + 17^\circ) = \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2};$

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}.$

б) $$$\cos 125^\circ \cdot \cos 5^\circ + \sin 55^\circ \cdot \cos 85^\circ =$
$= \cos(90^\circ + 35^\circ) \cdot \cos 5^\circ + \sin(90^\circ — 35^\circ) \cdot \cos(90^\circ — 5^\circ) =$
$= -\sin 35^\circ \cdot \cos 5^\circ + \cos 35^\circ \cdot \sin 5^\circ =$
$= \sin(5^\circ — 35^\circ) = \sin(-30^\circ) = -\sin 30^\circ = -\frac{1}{2};$

Ответ: $-\frac{1}{2}\mathrm{.}$$-\frac{1}{2}.$

а)

$$\sin 77^\circ \cdot \cos 17^\circ — \sin 13^\circ \cdot \cos 73^\circ$$

Шаг 1: Заметим, что углы 77° и 73° дополняют до 90°

• $\sin 77^\circ = \sin(90^\circ — 13^\circ) = \cos 13^\circ$
• $\cos 73^\circ = \cos(90^\circ — 17^\circ) = \sin 17^\circ$

Теперь подставим:

$$= \cos 13^\circ \cdot \cos 17^\circ — \sin 13^\circ \cdot \sin 17^\circ$$

Шаг 2: Применим формулу косинуса суммы

$$\cos A \cos B — \sin A \sin B = \cos(A + B)$$

Где:

• $A = 13^\circ$
• $B = 17^\circ$

$$= \cos(13^\circ + 17^\circ) = \cos 30^\circ$$

Шаг 3: Подставим табличное значение

$$\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

б)

$$\cos 125^\circ \cdot \cos 5^\circ + \sin 55^\circ \cdot \cos 85^\circ$$

Шаг 1: Представим углы через 90°

• $\cos 125^\circ = \cos(90^\circ + 35^\circ) = -\sin 35^\circ$
• $\sin 55^\circ = \sin(90^\circ — 35^\circ) = \cos 35^\circ$
• $\cos 85^\circ = \cos(90^\circ — 5^\circ) = \sin 5^\circ$

Подставим:

$$= (-\sin 35^\circ) \cdot \cos 5^\circ + \cos 35^\circ \cdot \sin 5^\circ$$

Шаг 2: Вынесем знаки и упорядочим

$$= -\sin 35^\circ \cdot \cos 5^\circ + \cos 35^\circ \cdot \sin 5^\circ$$

Шаг 3: Применим формулу синуса разности

$$\cos A \cdot \sin B — \sin A \cdot \cos B = \sin(B — A)$$

Переставим слагаемые:

$$= \cos 35^\circ \cdot \sin 5^\circ — \sin 35^\circ \cdot \cos 5^\circ = \sin(5^\circ — 35^\circ)$$

Шаг 4: Вычислим аргумент

$$\sin(5^\circ — 35^\circ) = \sin(-30^\circ)$$

Шаг 5: Используем нечётность синуса

$$\sin(-x) = -\sin x \Rightarrow \sin(-30^\circ) = -\sin 30^\circ$$

Шаг 6: Подставим табличное значение

$$\sin 30^\circ = \frac{1}{2} \Rightarrow -\sin 30^\circ = -\frac{1}{2}$$

Ответ: $-\frac{1}{2}$