ГДЗ 10-11 Класс Номер 19.13 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Вычислить значение:

а)

$$\frac{\cos {105}^{\circ }\cdot \cos 5^{\circ }+\sin {105}^{\circ }\cdot \cos {85}^{\circ }}{\cos {95}^{\circ }\cdot \cos 5^{\circ }+\sin {95}^{\circ }\cdot \sin {185}^{\circ }}=$$

$$\frac{\cos 105^\circ \cdot \cos 5^\circ + \sin 105^\circ \cdot \cos 85^\circ}{\cos 95^\circ \cdot \cos 5^\circ + \sin 95^\circ \cdot \sin 185^\circ} =$$ $$=\frac{\cos ({90}^{\circ }+{15}^{\circ })\cdot \cos 5^{\circ }+\sin ({90}^{\circ }+{15}^{\circ })\cdot \cos ({90}^{\circ }-5^{\circ })}{\cos ({90}^{\circ }+5^{\circ })\cdot \cos 5^{\circ }+\sin ({90}^{\circ }+5^{\circ })\cdot \sin ({180}^{\circ }+5^{\circ })}=$$

$$= \frac{\cos(90^\circ + 15^\circ) \cdot \cos 5^\circ + \sin(90^\circ + 15^\circ) \cdot \cos(90^\circ — 5^\circ)}{\cos(90^\circ + 5^\circ) \cdot \cos 5^\circ + \sin(90^\circ + 5^\circ) \cdot \sin(180^\circ + 5^\circ)} =$$ $$=\frac{-\sin {15}^{\circ }\cdot \cos 5^{\circ }+\cos {15}^{\circ }\cdot \sin 5^{\circ }}{-\sin 5^{\circ }\cdot \cos 5^{\circ }-\cos 5^{\circ }\cdot \sin 5^{\circ }}=\frac{\sin (5^{\circ }-{15}^{\circ })}{-\sin (5^{\circ }+5^{\circ })}=$$

$$= \frac{-\sin 15^\circ \cdot \cos 5^\circ + \cos 15^\circ \cdot \sin 5^\circ}{-\sin 5^\circ \cdot \cos 5^\circ — \cos 5^\circ \cdot \sin 5^\circ} = \frac{\sin(5^\circ — 15^\circ)}{-\sin(5^\circ + 5^\circ)} =$$ $$= \frac{\sin(-10^\circ)}{-\sin 10^\circ} = \frac{-\sin 10^\circ}{-\sin 10^\circ} = 1;$$

Ответ: 1.

б)

$$\frac{\sin {75}^{\circ }\cdot \cos 5^{\circ }-\cos {75}^{\circ }\cdot \cos {85}^{\circ }}{\cos {375}^{\circ }\cdot \cos 5^{\circ }-\sin {15}^{\circ }\cdot \sin {365}^{\circ }}=$$

$$\frac{\sin 75^\circ \cdot \cos 5^\circ — \cos 75^\circ \cdot \cos 85^\circ}{\cos 375^\circ \cdot \cos 5^\circ — \sin 15^\circ \cdot \sin 365^\circ} =$$ $$=\frac{\sin ({90}^{\circ }-{15}^{\circ })\cdot \cos 5^{\circ }-\cos ({90}^{\circ }-{15}^{\circ })\cdot \cos ({90}^{\circ }-5^{\circ })}{\cos ({360}^{\circ }+{15}^{\circ })\cdot \cos 5^{\circ }-\sin {15}^{\circ }\cdot \sin ({360}^{\circ }+5^{\circ })}=$$

$$= \frac{\sin(90^\circ — 15^\circ) \cdot \cos 5^\circ — \cos(90^\circ — 15^\circ) \cdot \cos(90^\circ — 5^\circ)}{\cos(360^\circ + 15^\circ) \cdot \cos 5^\circ — \sin 15^\circ \cdot \sin(360^\circ + 5^\circ)} =$$ $$= \frac{\cos 15^\circ \cdot \cos 5^\circ — \sin 15^\circ \cdot \sin 5^\circ}{\cos 15^\circ \cdot \cos 5^\circ — \sin 15^\circ \cdot \sin 5^\circ} = \frac{\cos(15^\circ + 5^\circ)}{\cos(15^\circ + 5^\circ)} = 1;$$

Ответ: 1.

а)

$$\frac{\cos 105^\circ \cdot \cos 5^\circ + \sin 105^\circ \cdot \cos 85^\circ}{\cos 95^\circ \cdot \cos 5^\circ + \sin 95^\circ \cdot \sin 185^\circ}$$

ШАГ 1: Преобразуем числитель

$\cos 105^\circ$

$$\cos 105^\circ = \cos(90^\circ + 15^\circ) = -\sin 15^\circ$$

$\cos 85^\circ$

$$\cos 85^\circ = \cos(90^\circ — 5^\circ) = \sin 5^\circ$$

$\sin 105^\circ$

$$\sin 105^\circ = \sin(90^\circ + 15^\circ) = \cos 15^\circ$$

Теперь подставим в числитель:

$$\cos 105^\circ \cdot \cos 5^\circ + \sin 105^\circ \cdot \cos 85^\circ = (-\sin 15^\circ) \cdot \cos 5^\circ + \cos 15^\circ \cdot \sin 5^\circ$$

Это соответствует формуле синуса разности:

$$= \sin(5^\circ — 15^\circ) = \sin(-10^\circ)$$

ШАГ 2: Преобразуем знаменатель

$\cos 95^\circ = \cos(90^\circ + 5^\circ) = -\sin 5^\circ$

$\sin 95^\circ = \sin(90^\circ + 5^\circ) = \cos 5^\circ$

$\sin 185^\circ = \sin(180^\circ + 5^\circ) = -\sin 5^\circ$

Теперь подставим:

$$\cos 95^\circ \cdot \cos 5^\circ + \sin 95^\circ \cdot \sin 185^\circ = (-\sin 5^\circ) \cdot \cos 5^\circ + \cos 5^\circ \cdot (-\sin 5^\circ)$$ $$= -\sin 5^\circ \cdot \cos 5^\circ — \cos 5^\circ \cdot \sin 5^\circ = -2\sin 5^\circ \cdot \cos 5^\circ$$

Но при этом числитель у нас был:

$$\sin(-10^\circ) = -\sin 10^\circ$$

А знаменатель:

$$-2 \sin 5^\circ \cos 5^\circ = -\sin(10^\circ) \quad \text{(так как } \sin(2x) = 2\sin x \cos x \text{)}$$

Значит:

$$\frac{-\sin 10^\circ}{-\sin 10^\circ} = 1$$

Ответ: 1

б)

$$\frac{\sin 75^\circ \cdot \cos 5^\circ — \cos 75^\circ \cdot \cos 85^\circ}{\cos 375^\circ \cdot \cos 5^\circ — \sin 15^\circ \cdot \sin 365^\circ}$$

ШАГ 1: Преобразуем числитель

$\sin 75^\circ = \sin(90^\circ — 15^\circ) = \cos 15^\circ$

$\cos 75^\circ = \cos(90^\circ — 15^\circ) = \sin 15^\circ$

$\cos 85^\circ = \cos(90^\circ — 5^\circ) = \sin 5^\circ$

Теперь:

$$\sin 75^\circ \cdot \cos 5^\circ — \cos 75^\circ \cdot \cos 85^\circ = \cos 15^\circ \cdot \cos 5^\circ — \sin 15^\circ \cdot \sin 5^\circ$$

Это по формуле косинуса суммы:

$$\cos(A + B) = \cos A \cos B — \sin A \sin B \Rightarrow \cos(15^\circ + 5^\circ) = \cos 20^\circ$$

ШАГ 2: Преобразуем знаменатель

$\cos 375^\circ = \cos(360^\circ + 15^\circ) = \cos 15^\circ$

$\sin 365^\circ = \sin(360^\circ + 5^\circ) = \sin 5^\circ$

Теперь:

$$\cos 375^\circ \cdot \cos 5^\circ — \sin 15^\circ \cdot \sin 365^\circ = \cos 15^\circ \cdot \cos 5^\circ — \sin 15^\circ \cdot \sin 5^\circ$$

Это то же самое, что числитель, и тоже равно:

$$\cos(15^\circ + 5^\circ) = \cos 20^\circ$$

ШАГ 3: Делим результат

$$\frac{\cos 20^\circ}{\cos 20^\circ} = 1$$

Ответ: 1